2017　山梨大学　前期MathJax

【１】

(1)　$x\text{，}y$が$3$つの不等式$y\geqq x\text{，}y\leqq 2x\text{，}x+y\leqq 2$を満たすとき，$2x+y$の最大値を求めよ．

【１】

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=c\text{，}\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b$とする．$\cos \mathrm{A}={\displaystyle \frac{\sin \mathrm{C}}{2\sin \mathrm{B}}}$が成り立つとき，$▵\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．

【１】

(3)　不等式${\log }_{2}x-{\log }_{x}16-3\leqq 0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

【１】

(4)　正の実数$x\text{，}y\text{，}z$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．

$x+y+z\geqq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\geqq \sqrt{x\sqrt{yz}}+\sqrt{y\sqrt{zx}}+\sqrt{z\sqrt{xy}}$

また，それぞれの不等式において，等号が成り立つときはどのようなときか．

【２】　$t>0$とする．$xy$平面の$0\leqq x\leqq t$の範囲で，曲線$y=x(x-2)$と$x$軸の間の部分の面積を$S(t)$とする．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　$ty$平面で，曲線$y=S(t)$上の点$(a,S(a))$（ただし，$a\ne 2$）での接線が直線$y=3t+b$（$b$は定数）となるとき，$b$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$b$について，$S(t)\geqq 3t+b$が成り立つことを示せ．

【３】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\sqrt{2}\text{，}$$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=6$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$とする．ただし，$s\text{，}$$t$は実数とする．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直であるとき，$s$と$t$の関係式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{H}$が$▵\mathrm{OAB}$の垂心であるとき，$s$と$t$の値を求めよ．

【１】

(1)　複素数平面上において，次の等式を満たす点$z$全体は，それぞれどのような図形か．

(A)　$|iz+2-2\sqrt{3}i|=4$

(B)　$\left|z\right|=|z-2\sqrt{3}-6i|$

【１】

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$のとき，関数$f(x)={\cos }^{2}x+3\sin x+1$の最大値および最小値を求めよ．

【１】

(3)　$n$を自然数とするとき，${(1+\sqrt[3]{2})}^n$が整数$a_n\text{，}{b}_n$および$c_n$を用いて，$a_n+b_n\sqrt[3]{2}+{\displaystyle \frac{c_n}{\sqrt[3]{2}}}$と表されることを数学的帰納法によって証明せよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．また，線分$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}▵\mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　直線$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　線分$\mathrm{OG}$の長さ$L$を求めよ．

(5)　$▵\mathrm{OBG}$の面積$S$を求めよ．

【３】　$a$を負でない定数とし，関数$f(x)$を$f(x)=\sin x-x+a{x}^3$とする．

(1)　$f(0)\text{，}{f}^{\prime }(0)\text{，}{f}^{″}(0)\text{，}{f}^{‴}(0)$を求めよ．

(2)　$x\geqq 0$において，つねに$f^{″}(x)\geqq 0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)で求めた範囲の$a$に対し，$x\geqq 0$において，つねに$0\leqq x-\sin x\leqq a{x}^3$となることを証明せよ．

【４】　$n$を自然数とする．関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x+1}}$とする．

(1)　$f(x)$はつねに減少することを示せ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{t(t+1)}}dt$を求めよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^n}f(x)dx$を求めよ．また，不等式${\displaystyle {\int }_0^n}f(x)dx<\log 2$を証明せよ．

(4)　不等式${\displaystyle \frac{1}{e^1+1}}+{\displaystyle \frac{1}{e^2+1}}+{\displaystyle \frac{1}{e^3+1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{e^n+1}}<\log 2$を証明せよ．