2017　山梨大学　後期MathJax

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{カ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　$a={\log }_{10}(1+{\displaystyle \frac{1}{3}})\text{，}b={\log }_{10}(1+{\displaystyle \frac{2}{3}})$とおく．${\log }_{10}2\text{，}{\log }_{10}3$をそれぞれ$a\text{，}b$で表すと，${\log }_{10}2=\boxed{\text{ア}}\text{，}{\log }_{10}3=\boxed{\text{イ}}$となる．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{カ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　正六面体の$8$個の頂点から異なる$3$点を無作為に選んだときに，その$3$点が正三角形をなす確率は$\boxed{\text{ウ}}$であり，直角二等辺三角形をなす確率は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{カ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　$\tan \theta =\sqrt{2}\text{（}\pi <\theta <2\pi \text{）}$のとき，$\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=a+b\sqrt{2}\text{（}a\text{，}b\text{は整数）}$と表すと，$\tan (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\boxed{\text{オ}}$であり，$\tan ({\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{8}})=c+d\sqrt{2}+e\sqrt{3}+f\sqrt{6}\text{（}c\text{，}d\text{，}e\text{，}f\text{は整数）}$と表すと，$\tan ({\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{8}})=\boxed{\text{カ}}$となる．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{キ}}$から$\boxed{\text{コ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さが等しい二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．辺$\mathrm{BC}$の長さを$1$とし，$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線が辺$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{BD}$の長さのとりうる範囲は，$\boxed{\text{キ}}<\mathrm{BD}<\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\boxed{\text{キ}}$から$\boxed{\text{コ}}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　次の等式が成り立つような$a\text{，}b$の値を求めると，$a=\boxed{\text{ケ}}\text{，}b=\boxed{\text{コ}}$である．

${}_{2017}C_1+{}_{2017}C_3+\cdots +{}_{2017}C_{2k-1}+\cdots +{}_{2017}C_{2015}+{}_{2017}C_{2017}=2^a$

${}_{2017}C_1-{}_{2017}C_3+\cdots +{(-1)}^{k+1}{}_{2017}C_{2k-1}+\cdots -{}_{2017}C_{2015}+{}_{2017}C_{2017}=2^b$

【３】　表が赤で裏が紫のカードと表が白で裏が紫のカードがそれぞれ$n$枚ずつあり，紫の面を上にしてカードの表が特定できない状態でテーブルの上に散らばっている．ただし，$n\geqq 4$である．この$2n$枚から元に戻すことなく$1$枚ずつ無作為に取り出し表の色を見て，赤白どちらかの$n$枚をすべて取り出すまで繰り返す．これを終えた時点で，テーブルに残った他の色のカードが$4$枚以下である確率を$p_n$とすると，$p_n={\displaystyle \frac{5n(3n-5)}{4(2n-1)(2n-3)}}$であることを示せ．また，$p_n>p_{n+1}>{\displaystyle \frac{15}{16}}\text{（}n=4\text{，}5\text{，}6\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

【４】　空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(0,1,2)$を通る直線を$z$軸の周りに$1$回転させてできる面を円錐面$S$と呼ぶ．点$\mathrm{B}(0,{\displaystyle \frac{3}{10}},-{\displaystyle \frac{2}{5}})$を通りベクトル$\overrightarrow{e}=(1,0,0)$に平行な直線を$l$とする．$l$と点$\mathrm{F}(0,{\displaystyle \frac{1}{5}},-{\displaystyle \frac{3}{5}})$を含む平面を$\alpha$とし，$\alpha$上の点$\mathrm{P}$が円錐面$S$上にあるとする．$\mathrm{P}$から$l$に垂線を下ろし，$l$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{PF}=\mathrm{PQ}$であることを示せ．

【５】　正の整数$n$に対して，区間$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で連続な関数$f_n(x)$を

【６】　素数$p\text{，}q$に対して，$\sqrt{p}$および$\sqrt{p}+\sqrt[3]{q}$が無理数であることを示せ．