2017　信州大学　前期　経法，理，医MathJax

【１】　$n$を自然数とする．$2$つの変量$x\text{，}y$のデータが$2n$個の$x\text{，}y$の値の組として，次のように与えられているとする．

$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}(x_{2n},y_{2n})$

変量$x\text{，}y$の値は，それぞれ関係式

$x_k=k\text{，}{y}_k={\displaystyle \frac{1}{2k-1-2n}}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}2n\text{）}$

に従っている．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n=2\text{，}3$のとき，変量$y$の標準偏差$s_y$をそれぞれ求めよ．ただし，答えは分母を有理化して与えること．

(2)　変量$x\text{，}y$の平均値$\bar{x}\text{，}\bar{y}$を求めよ．

(3)　$x$と$y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．

【２】　$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれているカードが$10$枚あるとする．ただし，同じ数が書かれたカードはないものとする．この中から$2$枚のカードを同時に引き，小さい方の数を$p\text{，}$大きい方の数を$q$とする．座標平面上の$3$点$(p,0)\text{，}(q,0)\text{，}(0,2pq)$を通る$2$次関数のグラフを$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$C$の頂点の$x$座標が整数になる確率を求めよ．

(2)　$C$と$x$軸とで囲まれた領域の面積が整数になる確率を求めよ．

(3)　原点$\mathrm{O}$から$C$に引いた$2$本の接線の傾きがともに整数になる確率を求めよ．

【３】　座標平面上の点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(a_1,a_2)\text{，}$$\mathrm{B}(b_1,b_2)\text{，}$$\mathrm{C}(b_2,-b_1)$を考える．さらに，$0\leqq {\theta }_1\leqq \pi \text{，}$$0\leqq {\theta }_2\leqq \pi$に対し，

$\mathrm{D}(a_1\cos {\theta }_1-a_2\sin {\theta }_1,a_1\sin {\theta }_1+a_2\cos {\theta }_1)$

$\mathrm{E}(b_1\cos {\theta }_2-b_2\sin {\theta }_2,b_1\sin {\theta }_2+b_2\cos {\theta }_2)$

とおく．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|$を示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OE}}\ne 0$であるとする．${\theta }_1={\displaystyle \frac{\pi }{7}}$であるとき，${\theta }_2$を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は同一直線上にないものとし，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$も同一直線上にないものとする．$▵\mathrm{OAB}$の外接円の半径を$r_1$とし，$▵\mathrm{ODE}$の外接円の半径を$r_2$とする．また，$▵\mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．$\mathrm{AB}:\mathrm{DE}=2:3$であるとき，$▵\mathrm{ODE}$の面積を，$S\text{，}$$r_1\text{，}$$r_2$で表せ．

【４】　半径が$\sqrt{2}$の円に正方形$\mathrm{ABCD}$が内接している．辺$\mathrm{AB}$上の異なる$2$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$と，短い方の弧$\mathrm{AB}$上の異なる$2$点$\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$を，四角形$\mathrm{EFGH}$が長方形になるようにとる．

(1)　長方形$\mathrm{EFGH}$が正方形のとき，その$1$辺の長さを求めよ．

(2)　長方形$\mathrm{EFGH}$の面積が最大になるときの辺$\mathrm{FG}$の長さを求めよ．

【５】　$f(x)=2x{e}^{-x^2}$とする．$a>0$に対し，曲線$y=f(x)$と直線$x=a$および$x$軸で囲まれた領域の面積を$S(a)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$が最大値をとる$x$の値$p$を求めよ．

(2)　極限$k=\underset{a\to \infty }{\lim }S(a)$の値を求めよ．

(3)　(1)で求めた$p$に対し，$b>p$が成り立つとする．点$(b,f(b))$における曲線$y=f(x)$の接線と，直線$x=b$および$x$軸で囲まれた領域の面積を$T(b)$とする．(2)で求めた$k$に対し，$S(b)+T(b)=k$となるように，$b$の値を定めよ．

【６】　$0\leqq t\leqq 2\pi$において，媒介変数$t$で表された曲線

$\{\begin{array}{l}x=3\cos t+\cos 3t\\ y=3\sin t-\sin 3t\end{array}$

を$C$とする．

(1)　$C$の長さを求めよ．

(2)　$C$で囲まれた領域の面積を求めよ．

【７】　数列$\{a_n\}$を条件

$a_1=-1\text{，}{a}_2=3\text{，}{a}_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+2}-p{a}_{n+1}=q(a_{n+1}-p{a}_n)$がすべての$n$に対して成り立つような$p\text{，}q$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$r$を正の実数とし，数列$\{b_n\}$を条件

$b_1=r{\displaystyle \frac{1}{a_1}}\text{，}{\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}=r{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}$

によって定める．このとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．