2017　信州大学　後期　理，繊維学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$個のさいころを投げるとき，出た目の積が$5$の倍数となる確率を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　方程式$11x+15y=100$の整数解をすべて求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$2$つのベクトル$(t+1,2s,s+2)\text{，}(5t-3,s-2t,-s+2)$が垂直となる$s$と$t$を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2\left|z\right|=|z-1+i|$を満たす複素数平面上の点$z$の全体が描く図形$F$を図示せよ．

(2)　$z$が(1)で求めた図形$F$上を動くとき，$|z+1+i|$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　(1)で求めた図形$F$上の点$z$のうち，$z^2$が純虚数となる$z$の値をすべて求めよ．

【３】　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <\pi$とする．放物線$y=a{x}^2$が点$\mathrm{P}(\theta ,\sin \theta )$を通るとき，その放物線と線分$\mathrm{OP}$で囲まれた図形の面積を$S(\theta )$とする．ただし$\mathrm{O}(0,0)$である．

(1)　$S(\theta )$を$\theta$の式で表せ．

(2)　$S(\theta )$が最大値をとる$\theta$がただ$1$つ存在することを示せ．

(3)　$S(\theta )$が最大値をとる$\theta$を$\alpha$とする．曲線$y=\sin x$上の点$(\alpha ,\sin \alpha )$における接線と$x$軸の交点の$x$座標を$\beta$とする．このとき${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$を求めよ．

【４】　$a$が実数の範囲を動くとき，定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}{({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}-at)}^{2}dt$

の最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．

【５】　実数$p$は$\left|p\right|<1$を満たすとする．次の条件によって定まる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=0\text{，}{a}_{n+1}=p{a}_n+n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$a_n\ne 0\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}$を求めよ．