2017　岐阜大学　前期MathJax

【１】　$1000$から$2017$までの$4$桁の整数について，以下の問に答えよ．

(1)　$3$と$4$の少なくとも一方で割り切れる整数の個数を求めよ．

(2)　$1000$や$2002$のように異なる$2$種類の数字から成る整数の個数を求めよ．

(3)　$2017$のように異なる$4$種類の数字から成る整数の個数を求めよ．

【２】　$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とした半径$2$の円$C$がある．$p>2$とし，点$\mathrm{P}(p,0)$を通り，円$C$に接する$2$本の直線を考える．これらの直線と円$C$との接点を点$\mathrm{A}(a_1,a_2)\text{，}$点$\mathrm{B}(b_1,b_2)\text{（}{a}_2>b_2\text{）}$とする．また三角形$\mathrm{ABP}$の重心を点$\mathrm{G}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$p$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{G}$の座標を$p$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{G}$が円$C$の円周上にあるとき，$\angle \mathrm{APB}$の大きさを求めよ．

(4)　$p$が$p>2$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{OG}$の長さ$d$の最小値とそのときの$p$の値を求めよ．

【３】　$n$を$3$以上の整数とする．半径$1$の円に内接する正$n$角形の面積を$I_n\text{，}$外接する正$n$角形の面積を$E_n$とする．$m$を正の整数とし，$a_m=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3\cdot 2^m}}\right)$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$a_2={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$I_n$と$E_n$を，$n$と三角比を用いて表せ．

(3)　$\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3\cdot 2^m}}\right)$と$\tan \left({\displaystyle \frac{\pi }{3\cdot 2^m}}\right)$を，$a_m$を用いて表せ．

(4)　面積の比較により$\pi >I_n$および$\pi <E_n$となることを用いて，

$3\cdot 2^m\sqrt{1-{a_m}^2}<\pi <3\cdot 2^m{\displaystyle \frac{\sqrt{1-{a_m}^2}}{a_m}}$

が成り立つことを示せ．

(5)　(4)を用いて，

$3(\sqrt{6}-\sqrt{2})<\pi <12(2-\sqrt{3})$

が成り立つことを示せ．

【４】　$a$を実数とする．$xy$平面上の曲線$C$を$y=x^3+(a-4)x^2+(-4a+2)x-2$とする．以下の問に答えよ．

(1)　曲線$C$は，$a$の値に関係なく$2$定点を通る．その定点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$C$が点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$とは異なる点で線分$\mathrm{AB}$と交わる$a$の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲にあるとき，線分$\mathrm{AB}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(4)　(3)の$S$について，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}{a}_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．$0$以上の整数$k$に対して，$k$を$3$で割った余りを$R(k)$とする．例えば，$R(5)=2$である．$b_n=R(a_n)$とし，$s_n=b_1+b_2+b_3+\cdots +b_n$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$b_1\text{．}{b}_2\text{，}{b}_3\text{，}\cdots \text{，}\cdots \text{，}{b}_8$を求めよ．

(2)　$0$以上の整数$p\text{，}q$に対して，$R(3p+q)=R(q)$が成り立つことを示せ．

(3)　$R(a_{n+1}{a}_n+1)=R(b_{n+1}{b}_n+1)$が成り立つことを示せ．

(4)　$b_{n+4}=b_n$が成り立つことを示せ．

(5)　数列$\{s_n\}$の一般項を求めよ．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)=e^{-x}|\sin x|$

で定める．また，正の整数$n$に対して

$I_n={\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}f(x)dx$

とする．以下の問に答えよ．

(1)　$I_1$の値を求めよ．

(2)　$I_n$の値を求めよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{I}_k$の値を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$の値を求めよ．

【５】　複素数$z_n$を

$z_1=1\text{，}{z}_{n+1}=a(z_n+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．ただし，$i$を虚数単位とし，$a={\displaystyle \frac{i}{2}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$a$の絶対値$\left|z\right|$と偏角$\arg a$を求めよ．ただし，偏角の範囲は$0\leqq \arg a<2\pi$とする．

(2)　$z_{n+1}+b=a(z_n+b)$となる複素数$b$を求めよ．

(3)　$z_n$の実部$x_n\text{，}$虚部$y_n$を求めよ．

(4)　(3)の$x_n$と$y_n$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$をそれぞれ求めよ．