2017　静岡大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を正の整数，$\alpha$を有理数とする．$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx-c$に対して

${\displaystyle {\int }_0^{1+\sqrt{2}}}f(x)dx=-\alpha -(\alpha +3)\sqrt{2}$

が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$を有理数とする．$p+q\sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$のとき，$p=r$かつ$q=s$であることを示せ．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることを用いてよい．

(2)　$a\text{，}b$の値を求め，$c$を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$f(\alpha )=0$のとき，$\alpha$の値を求めよ．

(4)　(3)で求めた$\alpha$について，曲線$y=f(x)$上の点$(\alpha ,f(\alpha ))$における接線を$l$とする．このとき，曲線$y=f(x)$と接線$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$\{a_n\}$を数列とし，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．$C$を定数とする．数列$\{a_n\}$と数列$\{S_n\}$が関係式

$a_1=2\text{，}{a}_n=n^2-2S_n+C\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の値を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を，$a_n$と$n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{b_n\}$を

$b_n=a_n-n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{S_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$0<A<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<B<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<C<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$a=\tan A\text{，}b=\tan A\text{，}c=\tan C$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}B={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}C={\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$のとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}a+b+c\text{，}abc$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$a+b+c=abc$のとき，つねに$A+B+C=\pi$が成り立つことを示せ．

(3)　$a+b+c=abc$かつ$C={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$a+b$の最小値，および，そのときの$A\text{，}B$の値をそれぞれ求めよ．

【４】　整数$n$がある整数の$2$乗で表されるとき，$n$は平方数であるという．$2$つの平方数の和で表される整数全体の集合を$\mathrm{A}$とする．たとえば，$0=0^2+0^2$より$0\in \mathrm{A}$であり，また，$13=2^2+3^2$より$13\in \mathrm{A}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　整数$a\text{，}b\text{，}x\text{，}y$に対して，等式

$(a^2+b^2)(x^2+y^2)={(ax+by)}^2+{(ay-bx)}^2$

が成り立つことを示せ．

(2)　$2$つの整数$\alpha \text{，}\beta$が$\mathrm{A}$の要素であるとき，積$\alpha \beta$は$\mathrm{A}$の要素であることを示せ．

(3)　$25\text{，}50\text{，}1250$のそれぞれが$\mathrm{A}$の要素であることを示せ．

【１】　平面上に三角形$\mathrm{OAB}$がある．実数$k$に対して，直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を満たす点とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　等式

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}+{\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2$

が成り立つことを示せ．

(2)　等式

$(1-k){\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2+k{\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2+(1-k){\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2+k{\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2$

が成り立つことを示せ．

(3)　平面上の点$\mathrm{D}$が等式

$(1-k){\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2+k{\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|}^2+(1-k){\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|}^2+k{\left|\overrightarrow{\mathrm{BD}}\right|}^2$

を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}$の値を求めよ．

【２】　複素数平面上の点$z$が原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円周上を動くとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　複素数$w={\displaystyle \frac{z-1}{z-i}}$で表される点$w$の描く図形を複素数平面上に図示せよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(2)　(1)の図形を，原点を中心に${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$だけ回転して得られる図形を求めよ．

【４】　$m$を正の整数とする．関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(m{t}^{2m-1}-t^{2m+1})e^{-t^2}dt$

の極値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【２】　関数$f(x)={(x-1)}^2{(x+1)}^2$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減および極値を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(2)　$t$を定数とする．関数$y=f(x)$のグラフ上の点$(t,f(t))$における接線$l$の方程式を，$t$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた接線$l$と関数$y=f(x)$のグラフが，異なる$3$つの共有点をもつための$t$の条件を求めよ

【３】　関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=e^x\text{，}g(x)=f(x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+f({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-x)$

で定める．ただし，$e$は自然対数の底である．また，

$I_1={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}g(x){\cos }^{2}xdx\text{，}{I}_2={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}g(x){\sin }^{2}xdx$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$g(x)=g({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)$を示せ．

(2)　$I_1=I_2$を示せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}g(x)dx\text{，}{I}_1$の値をそれぞれ求めよ．