2017　静岡大学　後期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関係式$\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}=t\text{（}-\pi <x<\pi \text{）}$によって定まる$t$の関数$x$について，導関数${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$を$t$を用いて表せ．ただし，$x$は$t$について微分可能であることを用いてよい．

(2)　$\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}=t\text{（}-\pi <x<\pi \text{）}$とおくとき，次の$2$つの等式が成り立つことを示せ．

$\sin x={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}\text{，}\cos x={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}$

(3)　すべての$t\geqq 0$に対して

${\displaystyle \frac{1+t^2}{{(1+2t)}^2}}=a+{\displaystyle \frac{b}{1+2t}}+{\displaystyle \frac{c}{{(1+2t)}^2}}$

が成り立つように，定数$a\text{，}b\text{，}c$の値をそれぞれ定めよ．

(4)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{5}}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{1+\cos x+2\sin x}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$

(5)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{1+\cos x+2\sin x}}(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のグラフと$x$軸，$y$軸および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　$t$を実数とし，複素数$z$を

$z={\displaystyle \frac{1}{(1-t)-ti}}$

で定め，

$z=x+yi$（$x\text{，}y$は実数）

と表す．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}y$を$t$を用いて表せ．

(2)　等式${(x+y)}^2-(x+y)-2xy=0$が成り立つことを示せ．

(3)　$0\leqq t\leqq 1$のとき，$x$のとり得る値の範囲を求めよ．

(4)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，複素数平面上で点$z$が描く曲線を$C$とする．$C$を図示せよ．

(5)　$0\leqq x\leqq 1$において，(4)の曲線$C$および$3$直線$x=0\text{，}x=1\text{，}y=0$で囲まれた図形を$F$とする．$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【１】　平面上の四角形$\mathrm{OABC}$において，頂点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は，この順に反時計回りに並んでいるとする．直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{AB}$は直交し，$\mathrm{OA}=5\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{55}\text{，}$$\mathrm{OC}=3\text{，}$$\cos \angle \mathrm{AOC}={\displaystyle \frac{7}{15}}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{a}+9\overrightarrow{c})\text{，}$$|\overrightarrow{a}+9\overrightarrow{c}|$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\overrightarrow{b}$を，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$を直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{OB}$の交点とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{OAP}$の面積$S$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　正の整数$a$と$b$は互いに素であり，$a<b$とする．$d=b-a$とおく．このとき，整数$b$と$b+d$は互いに素であることを示せ．

(2)　数列$\{a_n\}$は等差数列であり，すべての項$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は正の整数であるとする．初項$a_1$と第$2$項$a_2$が互いに素であるとき，すべての正の整数$n$について，$a_n$と$a_{n+1}$は互いに素であることを示せ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　関係式$\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}=t\text{（}-\pi <x<\pi \text{）}$によって定まる$t$の関数$x$について，導関数${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$を$t$を用いて表せ．ただし，$x$は$t$について微分可能であることを用いてよい．

(2)　$\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}=t\text{（}-\pi <x<\pi \text{）}$とおくとき，次の$2$つの等式が成り立つことを示せ．

$\sin x={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}\text{，}\cos x={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}$

(3)　すべての$t\geqq 0$に対して

${\displaystyle \frac{1+t^2}{{(1+2t)}^2}}=a+{\displaystyle \frac{b}{1+2t}}+{\displaystyle \frac{c}{{(1+2t)}^2}}$

が成り立つように，定数$a\text{，}b\text{，}c$の値をそれぞれ定めよ．

(4)　関数$y={\displaystyle \frac{1}{1+\cos x+2\sin x}}(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のグラフと$x$軸，$y$軸および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　$xy$平面上で，原点を通り傾き$k$の直線を$l$とする．$l$を準線とし，$l$上にない点$\mathrm{F}(a,b)$を焦点とする放物線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$C$が$x$軸に接するとき，$C$は$y$軸にも接することを示せ．

【５】　$\alpha >0$とする．関数$f(x)$を次で定める．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1-e^{-\alpha x}}{x}}& \text{（}x>0\text{）}\\ \alpha & \text{（}x\leqq 0\text{）}\end{array}$

ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$1-x<e^{-x}<1-x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

(2)　関数$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$における関数$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．

(4)　極限値$\underset{\alpha \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$を求めよ．

【１】　$a\text{，}$$b$をそれぞれ$a>0\text{，}$$0<b<1$を満たす定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で，$\overrightarrow{u}$を単位ベクトル$\overrightarrow{u}=(1,0)$とし，条件

${\left|\overrightarrow{p}\right|}^2-b^2{(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{u})}^2-(1-b^2)a^2=0$

を満たす点$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$の軌跡を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{p}=(x,y)$として，$C$の方程式を$x\text{，}$$y$を用いて表し，座標平面上に$C$を図示せよ．

(2)　点$\mathrm{P}(x,y)$の極座標を$(r,\theta )$とする．$r^2$を$a\text{，}$$b\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$と点$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$が$C$上にあり，$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=0$を満たすとき，${\displaystyle \frac{{\left|\overrightarrow{p}\right|}^2{\left|\overrightarrow{q}\right|}^2}{{\left|\overrightarrow{p}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{q}\right|}^2}}$の値を求めることにより，その値は点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$によらず一定であることを示せ．

【２】　$t$の関数$f(t)\text{，}g(t)$を

$f(t)={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}\text{，}g(t)={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}$

で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(t)\text{，}g(t)$を$t$で微分せよ．

(2)　$t\geqq 0$とする．関数$f(t)\text{，}g(t)$の増減を調べ，$f(t)\text{，}g(t)$の値域をそれぞれ求めよ．

(3)　${f(t)}^2+{g(t)}^2$の値を求めよ．

(4)　$t\geqq 0$とする．$x$についての方程式

$f(t)\sin x+g(t)\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

が$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で異なる$2$つの解をもつための$t$の条件を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x^3-5x^2+7x$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減および極値を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(2)　関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$\alpha$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(\alpha ,f(\alpha ))$から$y$軸に下ろした垂線と$y$軸との交点を$\mathrm{H}$とする．原点を$\mathrm{O}$とし，線分$\mathrm{OH}\text{，}$線分$\mathrm{HP}\text{，}$曲線$y=f(x)$で囲まれる図形を直線$\mathrm{HP}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　複素数$z$が等式

$(1+i)z+(1-i)\bar{z}=2\cdots$(＊)

を満たすとする．ただし，$\bar{z}$は$z$に共役な複素数，$i$は虚数単位である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　複素数$z$が等式(＊)を満たすことは，$z$が等式

$|z-(1-i)|=\left|z\right|$

を満たすことと同値であることを示せ．

(2)　複素数$z$が等式(＊)かつ$\left|z\right|\leqq 1$を満たすとき，複素数平面上で点$z$が描く図形を$C$とする．点$z$が$C$上を動くとき，複素数$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$で表される点$w$の描く図形を複素数平面上に図示せよ．