2017　浜松医科大学　前期医学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$\left|z\right|\leqq |z-(\sqrt{3}+i)|\text{，}|z-\bar{z}|\leqq 1$および$|z-2i|\leqq 2$を同時にみたす複素数$z$に対応する点の領域を複素数平面上に図示せよ．

(2)　(1)で得られた領域内の点に対応する複素数のうち，実部が最大となるものを$\alpha \text{，}$実部と虚部の和が最大となるものを$\beta$とするとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．

(3)　次の式で定義される$w_n$の実部を$R_n$とするとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{R}_n$の和を求めよ．

$w_n={\displaystyle \frac{\{1+(2-\sqrt{3})i\}{(\sqrt{3}+i)}^{3(n-1)}}{2^{4(n-1)}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【２】　直交する$2$つの直線$l_1$と$l_2$がある．$l_1$と平行で距離$r$の直線を$l_1$のまわりに$1$回転してできる円柱を$C_1\text{，}{l}_2$と平行で距離$r$の直線を$l_2$のまわりに$1$回転してできる円柱を$C_2$とし，$2$つの円柱$C_1$と$C_2$の共通部分の立体を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l_1$に直交する平面による$D$の切り口の概形を図示せよ．

(2)　直線$l_1$と$l_2$を含む平面と平行な平面による$D$の切り口の概形を図示せよ．

(3)　$D$の概形を図示せよ．

(4)　$D$の体積を求めよ．

【３】　実数$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$に対して，関数$f(x)$を

$f(x)=\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})-{\displaystyle \frac{1}{x+1}}-{\displaystyle \frac{a}{{(x+1)}^2}}\text{（}x>0\text{）}$

により定める．$f(1)f(2)\geqq 0$が成り立つとき，定積分${\displaystyle {\int }_1^2}|f(x)|dx$を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　いくつかのデータを比べるとき，それぞれのデータの特徴を$1$つの数値で表すと比較しやすい．そのような数値を代表値という．

　代表値としてよく用いられるもののうち$3$つを挙げ，それぞれの定義を述べよ．

(2)　次の$2$つの表は，糖尿病患者$100$人（表A）と糖尿病でない健常者$100$人（表B）を対象に採血検査「HbA1c」の結果を度数分布表の形にまとめたものである．（ここではHbA1cの値を小数点以下四捨五入していることに留意せよ．）

　(1)で回答した$3$つの代表値を，表Aおよび表Bに対してそれぞれ求めよ．

(3)　表Aと表B，$2$つのデータを用いて，糖尿病か否かを判断したい．このため判断に用いる値$c$を定めて，HbA1cの値が$c$以上なら糖尿病である，$c$未満なら糖尿病でないとする判定方法を採用する．そして，健常者を糖尿病としてしまう人数と糖尿病患者を健常者としてしまう人数の合計を総数の$200$で割った比率を誤診率と定義する．このとき，上記$200$人のデータに対して，誤診率が最小になるような$c$の値を求めよ．