2017　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の定数とする．$2$次関数$f(x)=a{x}^2$と$3$次関数$g(x)=x{(x-4)}^2$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$y=g(x)$について，極値を求め，そのグラフを描け．

(2)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$は相異なる$3$点で交わることを示せ．

(3)　$2$つの曲線$y=f(x)$と$g(x)$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しくなるように$a$の値を定めよ．またそのとき，$2$つの曲線の交点の$x$座標を求めよ．

【２】　右図のような立方体を考える．この立方体の$8$つの頂点の上を点$\mathrm{P}$が次の規則で移動する．時刻$0$では点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$にいる．時刻が$1$増えるごとに点$\mathrm{P}$は，今いる頂点と辺で結ばれている頂点に等確率で移動する．例えば時刻$n$で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{H}$にいるとすると，時刻$n+1$では，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で頂点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{G}$のいずれかにいる．自然数$n\geqq 1$に対して，(ⅰ)点$\mathrm{P}$が時刻$n$までの間一度も頂点$\mathrm{A}$に戻らず，かつ時刻$n$で頂点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$のいずれかにいる確率を$p_n\text{，}$(ⅱ)点$\mathrm{P}$が時刻$n$までの間一度も頂点$\mathrm{A}$に戻らず，かつ時刻$n$で頂点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{H}$にいる確率を$q_n\text{，}$(ⅲ)点$\mathrm{P}$が時刻$n$までの間一度も頂点$\mathrm{A}$に戻らず，かつ時刻$n$で頂点$\mathrm{G}$にいる確率を$r_n\text{，}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$p_2\text{，}{q}_2\text{，}{r}_2$と$p_3\text{，}{q}_3\text{，}{r}_3$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$を求めよ．

(3)　自然数$m\geqq 1$に対して，点$\mathrm{P}$が時刻$2m$で頂点$\mathrm{A}$に初めている確率$s_m$を求めよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　次の条件(＊)を満たす$3$つの自然数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．

(＊)　$a<b<c$かつ${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

(2)　偶数$2n\text{（}n\geqq 1\text{）}$の$3$つの正の約数$p\text{，}q\text{，}r$で$p>q>r$と$p+q+r=n$を満たす組$(p,q,r)$の個数を$f(n)$とする．ただし，条件を満たす組が存在しない場合は，$f(n)=0$とする．$n$が自然数全体を動くときの$f(x)$の最大値$M$を求めよ．また，$f(n)=M$となる自然数$n$の中で最小のものを求めよ．

【１】　不等式$0<a<1$を満たす定数$a$に対して，曲線$C\text{：}y=a-1-\log x\text{（}x>0\text{）}$を考える．$s$を正の実数とし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,a-1-\log s)$における接線が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$(u(s),0)\text{，}(0,v(s))$とする．このとき，次の問に答えよ．必要があれば，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を証明なしで使ってよい．

(1)　関数$u(s)\text{，}v(s)$を$s$の式で表せ．

(2)　関数$t=u(s)\text{，}t=v(s)$の$2$つのグラフを，増減・凹凸および交点の座標に注意して，同じ$st$平面上に図示せよ．

(3)　関数$t=u(s)\text{，}t=v(s)$の$2$つのグラフで囲まれた図形を$t$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【２】　右図のような立方体を考える．この立方体の$8$つの頂点の上を点$\mathrm{P}$が次の規則で移動する．時刻$0$では点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$にいる．時刻が$1$増えるごとに点$\mathrm{P}$は，今いる頂点と辺で結ばれている頂点に等確率で移動する．例えば時刻$n$で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{H}$にいるとすると，時刻$n+1$では，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で頂点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{G}$のいずれかにいる．自然数$n\geqq 1$に対して，(ⅰ)点$\mathrm{P}$が時刻$n$までの間一度も頂点$\mathrm{A}$に戻らず，かつ時刻$n$で頂点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$のいずれかにいる確率を$p_n\text{，}$(ⅱ)点$\mathrm{P}$が時刻$n$までの間一度も頂点$\mathrm{A}$に戻らず，かつ時刻$n$で頂点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{H}$にいる確率を$q_n\text{，}$(ⅲ)点$\mathrm{P}$が時刻$n$までの間一度も頂点$\mathrm{A}$に戻らず，かつ時刻$n$で頂点$\mathrm{G}$にいる確率を$r_n\text{，}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$p_2\text{，}{q}_2\text{，}{r}_2$と$p_3\text{，}{q}_3\text{，}{r}_3$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$を求めよ．

(3)　自然数$m\geqq 1$に対して，点$\mathrm{P}$が時刻$2m$で頂点$\mathrm{A}$に初めている確率$s_m$を求めよ．

(4)　自然数$m\geqq 2$に対して，点$\mathrm{P}$が時刻$2m$で頂点$\mathrm{A}$に戻るのがちょうど$2$回目となる確率を$t_m$とする．このとき，$t_m<s_m$となる$m$をすべて求めよ．

【３】　$xyz$空間の$2$点$\mathrm{A}(0,0,2)\text{，}\mathrm{P}(a,b,0)$を通る直線を$l$とする．また，点$(2,0,0)$を中心とし，半径が$\sqrt{2}$である球面を$S$で表し，$S$のうち$z$座標が$z>0$を満たす部分を$T$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$l$上に点$\mathrm{Q}$がある．実数$t$を$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{AP}}$で定めるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を$a\text{，}b\text{，}t$を使って表せ．

(2)　$l$が$S$と相異なる$2$点で交わるような実数$a\text{，}b$に関する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

(3)　$l$が$T$と相異なる$2$点で交わるような実数$a\text{，}b$に関する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

【４】　$n$を自然数とする．$0$でない複素数からなる集合$\mathrm{M}$が次の規則(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)を満たしている．

(Ⅰ)　集合$\mathrm{M}$は$n$個の要素からなる．

(Ⅱ)　集合$\mathrm{M}$の要素$z$に対して，${\displaystyle \frac{1}{z}}$と$-z$はともに集合$\mathrm{M}$の要素である．

(Ⅲ)　集合$\mathrm{M}$の要素$z\text{，}w$に対して，その積$zw$は集合$\mathrm{M}$の要素である．ただし，$z=w$の場合も含める．

このとき，次の問に答えよ．

(1)　$1$および$-1$は集合$\mathrm{M}$の要素であることを示せ．

(2)　$n$は偶数であることを示せ．

(3)　$n=4$のとき，集合$\mathrm{M}$は一通りに定ることを示し，その要素をすべて求めよ．

(4)　$n=6$のとき，集合$\mathrm{M}$は一通りに定ることを示し，その要素をすべて求めよ．