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2017 名古屋工業大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )= 5 ex +1 ( ex+ 1) 2 に対して c =limx - f (x ) とおく.

(1)  f( x) の極値を求めよ.

(2)  c の値を求め, f( x) c となる x の範囲を求めよ.

(3)  R>1 とする.曲線 y =f (x ) および 2 直線 x =-log R y =c で囲まれた図形の面積 S (R ) を求めよ.

(4) (3)で求めた S (R ) に対して,極限値 limR S (R ) を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上を運動する点 P の時刻 t における座標 ( x,y )

x=cos t+ 13 cos 3t y=sin t+ 13 sin3 t

で表される.時刻 t における点 P の速度を v とし,加速度を α とする.

(1) 点 P y 座標の取り得る値の範囲を求めよ.

(2)  0<t < π2 のとき,速度 v が直線 y =3 x と平行である時刻 t を求めよ.

(3)  0t 2π のとき,加速度の大きさ | α | の最小値とその値を取る時刻 t を求めよ.

(4) 時刻 t =0 から t =π までに点 P が通過する道のり L を求めよ.

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【3】  θ 0 <θ< π 4 をみたす定数とし,自然数 n に対して an=tan θ 2n とおく.

(1) 数列 { 2n an } の極限を求めよ.

(2)  n 2 以上のとき 1 an -2 an- 1 =an が成り立つことを示せ.

(3)  Sn = k= 1n a n2k とおく. n 2 以上のとき S n a 1 a n で表せ.

(4) 無限級数 n=1 an2 n の和を求めよ.

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【4】 複素数平面上の原点 O と異なる 2 A (α ) B (β ) に対して

3α 2-6 αβ +4β 2=0

が成り立つ. 3 O A B を通る円を C とする.

(1)  α β を極形式で表せ.ただし,偏角 θ の範囲は - π<θ π とする.

(2) 円 C の中心と半径を α を用いて表せ.

(3)  |3 α-2 β | β を用いて表せ.

(4) 次が成り立つとき α を求めよ.

(ア) 点 z が円 C 上を動くとき w =i z C 上にある.

(イ)  α+ α は正の実数である.

(ウ)  |3 α-2 β| =2 6

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