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2017-10483-0101
2017 名古屋工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )= 5 ⁢ex +1 ( ex+ 1) 2 に対して c =limx →-∞ f⁡ (x ) とおく.
(1) f⁡( x) の極値を求めよ.
(2) c の値を求め, f⁡( x)≧ c となる x の範囲を求めよ.
(3) R>1 とする.曲線 y =f⁡ (x ) および 2 直線 x =-log⁡ R ,y =c で囲まれた図形の面積 S ⁡(R ) を求めよ.
(4) (3)で求めた S ⁡(R ) に対して,極限値 limR→ ∞S ⁡(R ) を求めよ.
2017-10483-0102
【2】 座標平面上を運動する点 P の時刻 t における座標 ( x,y ) が
x=cos⁡ t+ 13⁢ cos⁡ 3⁢t , y=sin ⁡t+ 13⁢ sin⁡3⁢ t
で表される.時刻 t における点 P の速度を v → とし,加速度を α → とする.
(1) 点 P の y 座標の取り得る値の範囲を求めよ.
(2) 0<t < π2 のとき,速度 v → が直線 y =3⁢ x と平行である時刻 t を求めよ.
(3) 0≦t ≦2⁢π のとき,加速度の大きさ | α→ | の最小値とその値を取る時刻 t を求めよ.
(4) 時刻 t =0 から t =π までに点 P が通過する道のり L を求めよ.
2017-10483-0103
【3】 θ を 0 <θ< π 4 をみたす定数とし,自然数 n に対して an=tan ⁡ θ 2n とおく.
(1) 数列 { 2n ⁢an } の極限を求めよ.
(2) n が 2 以上のとき 1 an -2 an- 1 =an が成り立つことを示せ.
(3) Sn = ∑k= 1n a n2k とおく. n が 2 以上のとき S n を a 1 と a n で表せ.
(4) 無限級数 ∑ n=1 ∞ an2 n の和を求めよ.
2017-10483-0104
【4】 複素数平面上の原点 O と異なる 2 点 A⁡ (α ), B ⁡(β ) に対して
3⁢α 2-6⁢ α⁢β +4⁢β 2=0
が成り立つ. 3 点 O ,A , B を通る円を C とする.
(1) α β を極形式で表せ.ただし,偏角 θ の範囲は - π<θ≦ π とする.
(2) 円 C の中心と半径を α を用いて表せ.
(3) |3 ⁢α-2 ⁢β | を β を用いて表せ.
(4) 次が成り立つとき α を求めよ.
(ア) 点 z が円 C 上を動くとき w =i⁢ z‾ も C 上にある.
(イ) α+ α‾ は正の実数である.
(ウ) |3 ⁢α-2 ⁢β| =2⁢ 6