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2017 豊橋技術科学大学 前期

易□ 並□ 難□

2017年豊橋技術科学大前期【1】2017104850101の図

【1】  xy 平面上の座標 ( R,0 ) の点を Q1 とする.各 n =1 2 3 に対して以下の規則で点 Q2 Q3 P1 P2 を定める.

 原点 O を中心に点 Qn を反時計回りに角度 θ (ラジアン)回転させた点を Pn とし,線分 OP n α :(1 -α ) に内分する点を Qn +1 とする.

ただし, R>0 0<α <1 とする.扇形 OQn Pn の面積を S n とし,円周率は π とする.以下の問いに答えよ.

(1)  S1 R θ を用いて表せ.

(2)  Sn R θ n α を用いて表せ.

(3)  Wn =S1 +S2 ++S n とおく. Wn R θ n α を用いて表せ.

(4) 数列 { Wn } の極限値 W =limn Wn R θ α を用いて表せ.

(5) 弧 Qn Pn の長さを an 線分 Pn Q n+1 の長さを b n とし,無限級数

n=1 (a n+b n)= a1+ b1+ a2+ b2+ a3+ b3+ +a n+b n+

の和を T とする. T=2 R かつ(4)で求めた W W =2 S1 となる α θ を求めよ.



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2017年豊橋技術科学大前期【2】2017104850102の図

【2】 放物線 y =1 2 x 2 上の点 P (p , 12 p 2) における接線を l とする.ただし p >0 とする.以下の問いに答えよ.

(1) 直線 l の方程式を, p を用いて表せ.

(2) 直線 l と垂直に交わる直線が放物線 y = 12 x2 と点 Q で接するとき,点 Q の座標を, p を用いて表せ.

(3) 点 P と(2)の点 Q の中点 R の座標を, p を用いて表せ.

(4) 点 P p >0 の範囲で動くとき,(3)の点 R が描く曲線の方程式を求めよ.



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【3】 関数 f (x )= (x+ 3) e-x について,以下の問いに答えよ.

(1) 関数 f (x ) の導関数 f ( x) 2 次導関数 f (x ) を求めよ.

(2) 関数 f (x ) の増減,曲線 y =f( x) の凹凸を表に表し,関数 f (x ) の極値および曲線 y =f( x) の変曲点を求めよ.

(3)  x0 y0 の範囲において,曲線 y =f( x) x 軸および y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  2 個のさいころを同時に振り,出た目の和を N とする. N により数直線上の点 P の動き方を以下のとおりに決める.ここで,点 P は最初原点 O にあるものとする.

  N 3 の倍数であれば点 P は負の方向へ 2 動く.

  N 3 の倍数以外の数であれば点 P は正の方向へ 1 動く.

このとき,以下の問いに答えよ.ただし,答えが分数になるときは既約分数とせよ.

(1)  N 3 の倍数となる確率を求めよ.

(2)  2 個のさいころを m 回振りおわったときに N 3 の倍数となる回数を n とする.点 P の座標を m n を用いて表せ.

(3)  2 個のさいころを 6 回振りおわったとき,点 P が原点にもどっている確率を求めよ.

(4)  2 個のさいころを 6 回振りおわったとき,点 P がはじめて原点にもどっている確率を求めよ.

【補足説明】設問(4) 点 P が数直線上の点 1 にあり, N の値が 3 の倍数となり負の方向へ 2 動く場合は,原点にもどっているとは考えない.

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