2017　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．$x$の$2$次方程式$4x^2+2(\sqrt{3}-1)x+a=0$の$2$つの解が$\sin \theta \text{，}\cos \theta$であるとき，$\theta$の値を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

【２】　自然数$n$に対して，$a_n=1^5+2^5+\cdots +n^5\text{，}{b}_n=1^7+2^7\cdots +n^7$と定める．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$k^4({(k+1)}^4-{(k-1)}^4)=s{k}^7+t{k}^5$が$k$についての恒等式となるように定数$s\text{，}t$の値を定めよ．

問２　問１の結果を用いて，数学的帰納法により，$8(a_n+b_n)=n^4{(n+1)}^4$を示せ．

【３】　鋭角三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{OB}=b$とし，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．ただし，$a\geqq b$とする．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{PR}$とする．ただし，$\mathrm{P}=\mathrm{A}$のとき，$\mathrm{Q}=\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}=\mathrm{B}$のとき$\mathrm{R}=\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離を$x$とする．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離と点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$間の距離の和を$x\text{，}a\text{，}b\text{，}S$を用いて表せ．

問２　問１の式の値の最小値と最大値を$a\text{，}b\text{，}S$を用いて表せ．

【４】　$xy$平面において，原点$\mathrm{O}(0,0)$とは異なる点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{Q}$を半直線$\mathrm{OP}$上にあって，$\mathrm{OP}\times \mathrm{OQ}=1$を満たす点とする．また，$a>0$に対し，中心$(a,0)\text{，}$半径$b$の円を$C$とする．

問１　$C$が原点を通るとする．$\mathrm{P}$が$C$上の原点とは異なる点全体を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

問２　$C$が原点を通らないとする．$\mathrm{P}$が$C$上の点全体を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【５】　自然数$n$に対して，整数$a_n\text{，}{b}_n$を

${(2-\sqrt{3})}^n=a_n+b_n\sqrt{3}$

によって定める．このとき，すべての自然数$n$について，$a_n>0$かつ$b_n<0$であることを数学的帰納法によって示せ．

【６】　次の問いに答えよ．

問１　$2$以上の自然数$n$に対して，

${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n-1}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}\leqq {\log }_{e}n\leqq 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$

が成り立つことを示せ．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

問２　$e$の近似値を使わず，${\log }_{e}4$の整数部分が$1$であることを示せ．

【７】　$xy$平面において，曲線$y=x^2+1$上の点$\mathrm{P}(t,t^2+1)$から直線$y=x$に下ろした垂線$\mathrm{PH}$の長さを$f(t)$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$t$の関数$f(t)$を求めよ．

問２　$f(t)$の最小値と，そのときの$t$を求めよ．

問３　$f(t)$を最小とするような$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【８】　方程式$x^2+2xy+4y^2+2x+4y-4=0$を考える．

問１　上の方程式を$y$について解け．また，上の方程式を満たす$x\text{，}y$がどちらも実数であるような$x$の範囲を求めよ．

問２　問１で得られた$2$つの関数のグラフを極大値，極小値を明記し，上に凸か下に凸かも考慮して描け．ただし，$x$の範囲は問１で得られたものとする．

【９】　複素数$w$を

$w=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$

と定める．ただし，$i$は虚数単位を表す．

問１　変数$x$の多項式$x^5-1$を$x-1$で割った商を求めよ．

問２　$w^4+w^3+w^2+w+1$の値を求めよ．

問３　$z$が複素数平面上を動くとき

${|z-1|}^2+{|z-w|}^2+{|z-w^2|}^2+{|z-w^3|}^2+{|z-w^4|}^2$

の最小値を求めよ．また，最小値を与える$z$を求めよ．

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