2017　三重大学　前期MathJax

【１】　$a$を$1$でない正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$2^x{\log }_{2}x-{\displaystyle \frac{8}{{\log }_{a}2}}{\log }_{a}x=0$を満たす実数$x$をすべて求めよ．

(2)　正の実数$A$に対し，方程式${\displaystyle \frac{2^x}{{\log }_{a}2}}{\log }_{a}A-2=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．

(3)　正の実数$A$に対し，方程式$2^x{\log }_{2}A+{\displaystyle \frac{2^{-x}}{{\log }_{a}2}}{\log }_{a}A-2=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．

【２】　座標平面上の点で$x$座標，$y$座標がともに整数であるような点を格子点ということにする．

(1)　原点を中心とする半径$\sqrt{7}$の円の内部にある格子点で，原点からもっとも遠い点までの距離を求めよ．

(2)　$\cos 15\mathrm{°}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を異なる三つの格子点とする．$\angle \mathrm{PQR}$は$15\mathrm{°}$にはならないことを示せ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1=0\text{，}{a}_{n+1}=c{a}_n+d$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．ただし$c\text{，}d$は定数であり，$c\ne 1$とする．

(2)　正の数を項とする数列$\{b_n\}$により，座標平面上の点${\mathrm{P}}_n(b_n,b_{n+1})\text{，}{\mathrm{Q}}_n({\displaystyle \frac{\sqrt{b_{n+1}}}{3}},b_{n+1})$を定める．また，原点を$\mathrm{O}$とする．線分${\mathrm{OP}}_n$と${\mathrm{OQ}}_n$の長さが等しいとき，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．ただし$b_1=1$とする．

【４】　曲線$C\text{：}y=x^3$の点$\mathrm{P}(t,t^3)\text{（}t>0\text{）}$における接線を$l$とし，$l$と$C$とのもう一方の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　$l$と$C$とで囲まれた図形の面積が$3$であった．このときの$t$を求めよ．

【４‐１】　曲線$C\text{：}y=\log x$の点$\mathrm{P}(e,1)$における接線を$l$とする．定数$a\text{，}b$に対し，曲線$C^{\prime }\text{：}y=a{x}^2+b$が$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における接線が$l$に一致しているとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(3)　$2$曲線$C\text{，}{C}^{\prime }$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４‐２】　曲線$y=x^3$上に点$\mathrm{P}(a,a^3)$をとる．ただし$0<a<2$とする．また，原点と$\mathrm{P}$と点$(2,8)$の$3$点を通る放物線を$y=f(x)$とする．

(1)　$f(x)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$x^3>f(x)$となる$x$の範囲を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^2}|x^3-f(x)|dx$を求めよ．

(4)　(3)の積分の値を最小にする$a$の値を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{2n}{n+1}}{a}_n+{\displaystyle \frac{2^{n+1}}{n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．

(3)　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a_k}^2}{{\left({\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\right)}^2}}$

【２】　虚部が正の複素数$z$が表す複素数平面上の点を$\mathrm{P}$とし，$w={\displaystyle \frac{z^2}{\left|z\right|}}$で与えられる点を$\mathrm{Q}$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$z$の極形式を$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$とするとき，$w$の極形式を求めよ．さらに$▵\mathrm{OPQ}$の面積を$r$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　$z$が$|z-4i|=2|z-i|$を満たして動くとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　$k$を定数として$\theta$の方程式

$\cos 2\theta =k\sin \theta (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．

(1)　この方程式が異なる二つの解を持つような$k$の範囲を求めよ．

(2)　$k$が(1)の範囲にあるとして，二つの解を$\theta =\alpha \text{，}\beta$とおく．$\sin \alpha \sin \beta$を求めよ．さらに$\sin \alpha +\sin \beta \text{，}\cos (\alpha +\beta )$の値を$k$を用いて表せ．

【４】　実数$a\text{，}b$に対し，$I(a,b)={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{(x-a-b\sin x)}^{2}dx$とする．

(1)　$I(a,b)=I(0,b)+2\pi a^2$を示せ．

(2)　$I(0,b)$を求めよ．

(3)　$I(a,b)\geqq {\displaystyle \frac{2\pi ({\pi }^2-6)}{3}}$を示せ．また等号が成り立つときの$a\text{，}b$の値を求めよ．

【１】　$a$を$1$でない正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$2^x{\log }_{2}x-{\displaystyle \frac{8}{{\log }_{a}2}}{\log }_{a}x=0$を満たす実数$x$をすべて求めよ．

(2)　正の実数$A$に対し，方程式$2^x{\log }_{2}A+{\displaystyle \frac{2^{-x}}{{\log }_{a}2}}{\log }_{a}A-2=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．

【２】　座標平面上に点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(4,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1)\text{，}\mathrm{C}(k,k)$をとる．ただし$k$は正の実数である．また$\angle \mathrm{OAB}$を$\theta$と表す．以下の問いに答えよ．

(1)　$\cos \theta \text{，}\cos 2\theta$を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{OCA}=2\theta$となるように$k$を定めよ．

(3)　$k$を(2)で求めたものとする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る円と$x$軸との交点で，$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$と表す．このとき$\cos \angle \mathrm{DCA}$を求めよ．また$▵\mathrm{OCD}$と$▵\mathrm{ACD}$の面積比を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{2n}{n+1}}{a}_n+{\displaystyle \frac{2^{n+1}}{n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

また自然数$p$に対して二つの条件

(ア)　ある自然数$k$を用いて$p=3\times 2^k$と表される

(イ)　ある自然数$m\text{，}n\text{（}m<n\text{）}$を用いて$p^2=a_m+a_n$と表される

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．

(3)　条件(ア)が成り立っているとき，条件(イ)が成り立つことを示せ．

(4)　条件(イ)が成り立っているとき，条件(ア)が成り立つことを示せ．

【４】　実数$a\text{，}b$に対し，$I(a,b)={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{(e^{-\left|x\right|}-a\sin x-b\cos x)}^{2}dx$とする．ただし$e$は自然対数の底である．

(1)　$I(a,b)=I(0,b)+\pi a^2$を示せ．

(2)　$I(0,b)$を求めよ．

(3)　$I(a,b)\geqq 1-e^{-2\pi }-{\displaystyle \frac{{(1+e^{-\pi })}^2}{\pi }}$を示せ．また等号が成立するときの$a\text{，}b$の値を求めよ．