2017　滋賀大学　前期MathJax

【１】　$a$を整数とする．$x$に関する方程式

$4x^3-(a+9)x-2(a-2)=0$

について，次の問いに答えよ．

(1)　実数$k$が解であるとき，$a$を$k$を用いて表せ．

(2)　少なくとも$1$つの解が自然数となるような$a$の値をすべて求めよ．

(3)　少なくとも$1$つの解が整数ではない正の有理数となるような$a$の値を求めよ．

【２】　$y=|x^2-3x-4|+3x+3$のグラフを$C\text{，}y=a(x-4)+15$のグラフを$L$とする．ただし，$a$は定数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の概形をかけ．

(2)　$-1\leqq x\leqq 4$における$C$と$L$の共有点の$x$座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$C$と$L$の共有点の個数は，定数$a$の値によってどのように変わるか．

【３】　座標空間において，次のように立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$の頂点をとる．

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,1,0)$

$\mathrm{D}(0,0,1)\text{，}\mathrm{E}(1,0,1)\text{，}\mathrm{F}(1,1,1)\text{，}\mathrm{G}(0,1,1)$

また，辺$\mathrm{OD}$上に点$\mathrm{S}(0,0,s)\text{，}$辺$\mathrm{AE}$上に点$\mathrm{T}(1,0,t)\text{，}$辺$\mathrm{CG}$上に点$\mathrm{U}(0,1,u)$をとり，$3$点$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}\text{，}\mathrm{U}$で定まる平面を$\alpha$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の座標を$s\text{，}t\text{，}u$を用いて表せ．

(2)　平面$\alpha$による立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$の切り口がひし形になるための$s\text{，}t\text{，}u$の条件を求めよ．ただし，$s=t=u=0$のときは四角形$\mathrm{OABC}$が，$s=t=u=1$のときは四角形$\mathrm{DEFG}$が切り口であるとする．

【４】　$a$を定数とし，$f(x)=a{x}^3-(2a-1)x^2$$-(a+4)x+2a+3$とする．曲線$C\text{：}y=f(x)$は$a$の値に関わらず$3$点$\mathrm{P}$$(x_1,y_1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(x_2,y_2)\text{，}$$\mathrm{R}$$(x_3,y_3)$を通る．ただし，$x_1<x_2<x_3$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　$f(x)$が極値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$a=1$のとき，線分$\mathrm{PQ}$と曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の整数としたとき，$n$進法で表された$4$桁の数${abcd}_{(n)}$のうち，$a=d\ne 0$かつ$b=c$であるものを，$n$進法の$4$桁回文とよぶ．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$進法の$4$桁回文をすべて$10$進法で表せ．

(2)　$3$進法の$4$桁回文をすべて$10$進法で表せ．

(3)　$9$進法の$4$桁回文の個数を求めよ．

(4)　$4$進法の$4$桁回文すべての最大公約数を求めよ．

(5)　$n$進法の$4$桁回文はすべて$n+1$で割り切れることを示せ．

【４】　箱の中にボールが$m$個入っており，そのうち当たりのボールは$1$個だけである．箱の中から無作為にボールを$1$個取り出し，当たりかどうかを確認して箱に戻すという試行を$n$回繰り返す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$m=4\text{，}n=4$のとき，少なくとも$1$回当たりが出る確率を求めよ．

(2)　$1$回の試行で当たる確率を$p\text{，}$当たりが出た回数を$X$とする．$X$が近似的に正規分布$N(np,np(1-p))$に従うことを利用して，$m=10\text{，}n=100$のときの$P(X\geqq 10)$を求めよ．

(3)　標準正規分布に従う確率変数を$Z$とする．確率変数$Y$が二項分布$B(n,p)$に従い，$y$が$0$以上の整数であるとき，

$P(Y\geqq y)\fallingdotseq P(Z\geqq {\displaystyle \frac{y-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}})$

として近似を行うと，(2)の近似より精度が高いといわれている．このことを用いて，$m=10\text{，}n=100$のときの$P(X\geqq 10)$を求めよ．また，以下の数表を用いてよい．

$u$	$0$	${\displaystyle \frac{1}{10}}$	${\displaystyle \frac{1}{9}}$	${\displaystyle \frac{1}{8}}$	${\displaystyle \frac{1}{7}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}}$
$P(0\leqq Z\leqq u)$	$0.000$	$0.040$	$0.044$	$0.050$	$0.057$	$0.066$	$0.079$

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　等式$f(x)=e^x-{\displaystyle {\int }_0^1}tf(t)dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

(2)　等式$g(x)=e^x-{\displaystyle {\int }_0^1}t{\{g(t)\}}^{2}dt$を満たす関数$g(x)$を求めよ．