2017　京都大学　前期MathJax

【１】　曲線$y=x^3-4x+1$を$C$とする．直線$l$は$C$の接線であり，点$\mathrm{P}(3,0)$を通るものとする．また，$l$の傾きは負であるとする．このとき，$C$と$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．ただし，$0.3010<{\log }_{10}2<0.3011$であることは用いてよい．

(1)　$100$桁以下の自然数で，$2$以外の素因数を持たないものの個数を求めよ．

(2)　$100$桁の自然数で，$2$と$5$以外の素因数をもたないものの個数を求めよ．

【３】　座標空間において原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(0,-1,1)$を通る直線を$l$とし，点$\mathrm{B}(0,2,1)$と点$\mathrm{C}(-2,2,-3)$を通る直線を$m$とする．$l$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$と，$m$上の点$\mathrm{R}$を$▵\mathrm{PQR}$が正三角形となるようにとる．このとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積が最小となるような$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標を求めよ．

【４】　$p\text{，}q$を自然数，$\alpha \text{，}\beta$を

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{p}}\text{，}\tan \beta ={\displaystyle \frac{1}{q}}$

を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　次の条件

(A)　$\tan (\alpha +2\beta )=2$

を満たす$p\text{，}q$の組$(p,q)$のうち，$q\leqq 3$であるものをすべて求めよ．

(2)　条件(A)を満たす$p\text{，}q$の組で，$q>3$であるものは存在しないことを示せ．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とする．さいころを$n$回振り，出た目の最大値$M$と最小値$L$の差$M-L$を$X$とする．

(1)　$X=1$である確率を求めよ．

(2)　$X=5$である確率を求めよ．

【１】　$w$を$0$でない複素数，$x\text{，}y$を$w+{\displaystyle \frac{1}{w}}=x+yi$を満たす実数とする．

(1)　実数$R$は$R>1$を満たす定数とする．$w$が絶対値$R$の複素数全体を動くとき，$xy$平面上の点$(x,y)$の軌跡を求めよ．

(2)　実数$\alpha$は$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とする．$w$が偏角$\alpha$の複素数全体を動くとき，$xy$平面上の点$(x,y)$の軌跡を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$を考える．点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}$は，それぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CO}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{AC}$上にあり，頂点ではないとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$が平行ならば$\mathrm{AE}:\mathrm{EB}=\mathrm{CF}:\mathrm{FB}$であることを示せ．

(2)　$D\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{I}$が正八面体の頂点となっているとき，これらの点は$\mathrm{OABC}$の各辺の中点であり，$\mathrm{OABC}$は正四面体であることを示せ．

【３】　$p\text{，}q$を自然数，$\alpha \text{，}\beta$を

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{p}}\text{，}\tan \beta ={\displaystyle \frac{1}{q}}$

を満たす実数とする．このとき

$\tan (\alpha +2\beta )=2$

を満たす$p\text{，}q$の組$(p,q)$をすべて求めよ．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$は鋭角三角形であり，$\angle \mathrm{A}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとする．また$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$1$であるとする．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{P}$とするとき，$\angle \mathrm{BPC}$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$の取りうる値の範囲を求めよ．

【５】　$a\geqq 0$とする．$0\leqq x\leqq \sqrt{2}$の範囲で曲線$y=x{e}^{-x}\text{，}$直線$y=ax\text{，}$直線$x=\sqrt{2}$によって囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．このとき，$S(a)$の最小値を求めよ．

（ここで「囲まれた部分」とは，上の曲線または直線のうち$2$つ以上で囲まれた部分を意味するものとする．）

【６】　$n$を自然数とする．$n$個の箱すべてに，$\boxed{1}\text{，}\boxed{2}\text{，}\boxed{3}\text{，}\boxed{4}\text{，}\boxed{5}$の$5$種類のカードがそれぞれ$1$枚ずつ計$5$枚入っている．各々の箱から$1$枚ずつカードを取り出し，取り出した順に左から並べて$n$桁の数$X$を作る．このとき，$X$が$3$で割り切れる確率を求めよ．