2017　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】　$s\text{，}t$を$0<s<1\text{，}0<t<1$を満たす実数とする．$xy$平面において，原点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}(p,q)\text{（}q>0\text{）}$および点$\mathrm{B}(1,0)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$を考える．線分$\mathrm{AO}$を$s:(1-s)$の比に内分する点を$\mathrm{C}$とし，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$の比に内分する点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{CD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とし，線分$\mathrm{AH}$の長さを$h$とおく．また，線分$\mathrm{CD}$の長さを$l$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$s\text{，}t$および$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$h$を$s\text{，}t\text{，}q$および$l$を用いて表せ．また，$l$を$s\text{，}t\text{，}p\text{，}q$を用いて表せ．

(3)　$s\text{，}t$および$q$を固定する．$p$が実数全体を動くときの$h$の最大値を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\cos \theta }{\sin \theta }}d\theta (0<x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

により定める．$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数$t$に対し，$xy$平面における曲線$y=f(x)(t\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の長さを$l(t)$とおく．

(1)　極限$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　$l(t)$を求めよ．

(3)　極限$\underset{t\to +0}{\lim }(l(t)-f(t))$を求めよ．

【３】　$a$を正の実数とし，$n$を自然数とする．$i$を虚数単位とし，複素数$z_n=1+{\displaystyle \frac{a}{n}}i$を考え，$r_n=\left|z_n\right|\text{，}{\theta }_n=\arg z_n(0<{\theta }_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．このとき次の問いに答えよ．ただし，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき不等式

$\sin x<x<\tan x$

が成り立つことを証明なしに用いてよい．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\tan x}}$の$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲における増減を調べよ．

(2)　不等式$n{\theta }_n<(n+1){\theta }_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\theta }_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{(r_n)}^n$を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．$n$個の実数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$が条件$a_1<a_2<\cdots <a_n$を満たすとする．$b_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_n$は$n$個の数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$をすべて並べた順列であり，順列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$とは異なるとする．

(1)　実数$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{q}_1\text{，}{q}_2$が$p_1<p_2$および$q_1<q_2$を満たすとき，不等式

$p_1{q}_2+p_2{q}_1<p_1{q}_1+p_2{q}_2$

が成り立つことを示せ．

(2)　$b_i>b_j$を満たす$2$つの自然数$i\text{，}j\text{（}1\leqq i<j\leqq n\text{）}$が存在することを示せ．

(3)　$n$個の数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$をすべて並べた順列$c_1\text{，}{c}_2\text{，}\cdots \text{，}{c}_n$で，不等式

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{b}_k<{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{c}_k$

を満たすものが存在することを示せ．