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2017-10550-0201
2017 京都工芸繊維大学 後期
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 0<x <π を満たす x のうち, tan⁡x の値が存在して 1 tan⁡x <3 となるような x の範囲を求めよ.
(2) xy 平面上の曲線 y =tan⁡x (- π 2< x< π2 ) の点 ( t,tan⁡ t) における接線の傾きを m t とする. mt =2 であるような t のうち最小のものを a とし, mt =4 であるような t のうち最小のものを b とする. a と b の値を求めよ.
(3) (2)で求めた a , b について,曲線 y =tan⁡x の直線 x =a と直線 x =b の間にある部分と,曲線 y =tan⁡x の点 ( a,tan⁡ a) における接線と,直線 x =b とで囲まれる領域の面積 S を求めよ.
2017-10550-0202
【2】 実数 a , b ,c で 0 <a<b <c を満たすものに対し, xy 平面の曲線 y =x2 上に 3 点 A ( a,a2 ) ,B ( b,b2 ) ,C ( c,c2 ) をとる.直線 AB と x 軸のなす角を θ 1( 0<θ 1< π2 ), 曲線 y =x2 の B における接線と x 軸のなす角を θ 2( 0<θ2 < π2 ), 直線 BC と x 軸のなす角を θ 3( 0<θ 3< π2 ) とする.このとき,条件
(*) θ2 -θ1 =θ3 -θ2
と,条件
(**) 4⁢b 3+( 2-4⁢ a⁢c) ⁢b-a -c=0
を考える.
(1) (*)が成立するとき,(**)が成立することを示せ.
(2) 0<a <c を満たす実数 a , c に対して, a<b <c を満たす実数 b で,(**)を満たすものが存在することを示せ.
2017-10550-0203
【3】 次の問いに答えよ.
(1) 複素数 z が条件
|z- 1|= 1 かつ | z2- 1|= 1
を満たすとき, z のとり得る値をすべて求めよ.
(2) n を自然数とし, a を正の実数とする.複素数 z が | z|= a を満たしながら動くときの | zn- 1| の最大値および最小値を求めよ.
2017-10550-0204
【4】 n を 5 以上の自然数とする. 1 から n までの番号のついた n 枚のカードがある.これらの n 枚のカードから 3 枚のカードを同時に取り除き,残った ( n-3 ) 枚のカードの番号のうち,最小のものを a とし,最大のものを b とする.
(1) a=1 かつ b =n となる確率 p n を求めよ.
(2) a ,b の組 ( a,b ) で起こり得るものをすべて求めよ.また,積 a ⁢b のとり得る値をすべて求め,それらを大きいものから順に並べよ.
(3) a⁢b ≧n となる確率 q n を求めよ.
(4) a⁢b ≦2⁢n となったときの a ⁢b>n となる条件付き確率 r n を求めよ.