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2017 京都工芸繊維大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1)  0<x <π を満たす x のうち, tanx の値が存在して 1 tanx <3 となるような x の範囲を求めよ.

(2)  xy 平面上の曲線 y =tanx (- π 2< x< π2 ) の点 ( t,tan t) における接線の傾きを m t とする. mt =2 であるような t のうち最小のものを a とし, mt =4 であるような t のうち最小のものを b とする. a b の値を求めよ.

(3) (2)で求めた a b について,曲線 y =tanx の直線 x =a と直線 x =b の間にある部分と,曲線 y =tanx の点 ( a,tan a) における接線と,直線 x =b とで囲まれる領域の面積 S を求めよ.

2017 京都工芸繊維大学 後期

易□ 並□ 難□

【2】 実数 a b c 0 <a<b <c を満たすものに対し, xy 平面の曲線 y =x2 上に 3 A ( a,a2 ) B ( b,b2 ) C ( c,c2 ) をとる.直線 AB x 軸のなす角を θ 1( 0<θ 1< π2 ) 曲線 y =x2 B における接線と x 軸のなす角を θ 2( 0<θ2 < π2 ) 直線 BC x 軸のなす角を θ 3( 0<θ 3< π2 ) とする.このとき,条件

(*)  θ2 -θ1 =θ3 -θ2

と,条件

(**)  4b 3+( 2-4 ac) b-a -c=0

を考える.

(1) (*)が成立するとき,(**)が成立することを示せ.

(2)  0<a <c を満たす実数 a c に対して, a<b <c を満たす実数 b で,(**)を満たすものが存在することを示せ.

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易□ 並□ 難□

【3】 次の問いに答えよ.

(1) 複素数 z が条件

|z- 1|= 1 かつ | z2- 1|= 1

を満たすとき, z のとり得る値をすべて求めよ.

(2)  n を自然数とし, a を正の実数とする.複素数 z | z|= a を満たしながら動くときの | zn- 1| の最大値および最小値を求めよ.

2017 京都工芸繊維大学 後期

易□ 並□ 難□

【4】  n 5 以上の自然数とする. 1 から n までの番号のついた n 枚のカードがある.これらの n 枚のカードから 3 枚のカードを同時に取り除き,残った ( n-3 ) 枚のカードの番号のうち,最小のものを a とし,最大のものを b とする.

(1)  a=1 かつ b =n となる確率 p n を求めよ.

(2)  a b の組 ( a,b ) で起こり得るものをすべて求めよ.また,積 a b のとり得る値をすべて求め,それらを大きいものから順に並べよ.

(3)  ab n となる確率 q n を求めよ.

(4)  ab 2n となったときの a b>n となる条件付き確率 r n を求めよ.

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