2017　大阪大学　前期MathJax

【１】　$b\text{，}c$を実数，$q$を正の実数とする．放物線$P\text{：}y=-x^2+bx+c$の頂点の$y$座標が$q$のとき，放物線$P$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を$q$を用いて表せ．

【２】　実数$x\text{，}y\text{，}z$が

$x+y+z=1\text{，}x+2y+3z=5$

を満たすとする．

(1)　$x^3+y^3+z^3-3xyz$の最小値を求めよ．

(2)　$x\geqq 0$のとき，$xyz$が最大となる$z$の値を求めよ．

【３】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=8{a_n}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_n={\log }_2{a}_n$とおく．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$P_n=a_1{a}_2{a}_3\cdots a_n$とおく．数列$\{P_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$P_n>{10}^{100}$となる最小の自然数$n$を求めよ．

【１】　双曲線$H\text{：}{x}^2-y^2=1$上の$3$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}\mathrm{C}(s,t)\text{（}t\ne 0\text{）}$を考える．

(1)　点$\mathrm{A}$における$H$の接線と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を$s$と$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{C}$における$H$の接線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$s$と$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{B}$における$H$の接線と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は一直線上にあることを証明せよ．

【２】　複素数$z$は$z^5=1$を満たし，実部と虚部がともに正であるものとする．硬貨を投げて表が出れば$1\text{，}$裏が出れば$0$とし，$5$回投げて出た順に$a_0\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$とおく．複素数$w$を$w=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+a_3{z}^3+a_4{z}^4$と定める．

(1)　$5$回とも表が出たとする．$w$の値を求めよ．

(2)　$a_0=a_2=a_3=0\text{，}{a}_1=a_4=1$のとき，$\left|w\right|<1$であることを示せ．

(3)　$\left|w\right|<1$である確率を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を自然数とし，不等式

$|{\displaystyle \frac{a}{b}}-\sqrt{7}|<{\displaystyle \frac{2}{b^4}}\text{(A)}$

を考える．次の問いに答えよ．ただし，$2.645<\sqrt{7}<2.646$であること，$\sqrt{7}$が無理数であることを用いてよい．

(1)　不等式(A)を満たし$b\geqq 2$である自然数$a\text{，}b$に対して

$|{\displaystyle \frac{a}{b}}+\sqrt{7}|<6$

であることを示せ．

(2)　不等式(A)を満たす自然数$a\text{，}b$の組のうち，$b\geqq 2$であるものをすべて求めよ．

【４】　$b\text{，}c$を実数とする．$2$次関数$f(x)=-x^2+bx+c$が

$0\leqq f(1)\leqq 2\text{，}5\leqq f(3)\leqq 6$

を満たすとする．

(1)　$f(4)$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　放物線$f(x)$の頂点の$y$座標$q$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　放物線$y=f(x)$の頂点の$y$座標が$6$のとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【５】　$xy$平面上で放物線$y=x^2$と直線$y=2$で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体を$L$とおく．回転体$L$に含まれる点のうち，$xy$平面上の直線$x=1$からの距離が$1$以下のもの全体がつくる立体を$M$とおく．

(1)　$t$を$0\leqq t\leqq 2$を満たす実数とする．$xy$平面上の点$(0,t)$を通り，$y$軸に直交する平面による$M$の切り口の面積を$S(t)$とする．$t={(2\cos \theta )}^2({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のとき，$S(t)$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$M$の体積$V$を求めよ