2017　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$に対して，数列$\{b_n\}$を

$b_n={\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\{a_n\}$が等差数列ならば，$\{b_n\}$も等差数列であることを証明せよ．

(2)　$\{b_n\}$は公差$d$の等差数列とする．

(ⅰ)　$a_n$を$b_1\text{，}d\text{，}n$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\{a_n\}$も等差数列であることを証明せよ．

(3)　$\{b_n\}$が等差数列で，

${\displaystyle \sum _{k=1}^5}{b}_{2k-1}=65\text{，}{\displaystyle \sum _{k=1}^5}{b}_{2k}=75$

のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　次の不等式をみたす実数$x$の範囲を求めよ．

$x^4-2x^3-x+2\leqq 0$

(2)　次の不等式をみたす複素数$z$の範囲を複素数平面上に図示せよ．

${\left|z\right|}^4-2{\left|z\right|}^3-\left|z\right|+2\leqq 0$

(3)　次の不等式をみたす複素数$z$の範囲を複素数平面上に図示せよ．

${|z-iz-1-i|}^4-2{|z-iz-1-i|}^3-|z-iz-1-i|+2\leqq 0$

【３】　平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している．

$a=\mathrm{AB}\text{，}b=\mathrm{BC}\text{，}c=\mathrm{CD}\text{，}d=\mathrm{DA}$

とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\theta =\angle \mathrm{ABC}$とおくとき，$\cos \theta$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を用いて表せ．

(2)　次の式を因数分解せよ．

$4{(ab+cd)}^2-{(a^2+b^2-c^2-d^2)}^2$

(3)　$s={\displaystyle \frac{a+b+c+d}{2}}$とする．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$は次の式で表されることを証明せよ．

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

【４】　$f(x)=(1-x^2)e^{-x}$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減と極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフの$y\geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．