2017　神戸大学　前期MathJax

2017-10601-0101

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF2頁)へ

2017　神戸大学　前期

文科系

配点25点

易□　並□　難□

【１】　 $t$ を正の実数とする． $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 3 (t^{2} - 1) x + 2 t^{3} - 3 t^{2} + 1$ とおく．以下の問に答えよ．

(1)　 $2 t^{3} - 3 t^{2} + 1$ を因数分解せよ．

(2)　 $f (x)$ が極小値 $0$ をもつことを示せ．

(3)　 $- 1 ≦ x ≦ 2$ における $f (x)$ の最小値 $m$ と最大値 $M$ を $t$ の式で表せ．

2017-10601-0102

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF3頁)へ

2017　神戸大学　前期

文科系

配点25点

易□　並□　難□

【２】　次の $2$ つの条件をみたす $x$ の $2$ 次式 $f (x)$ を考える．

(ⅰ)　 $y = f) x)$ のグラフは点 $(1, 4)$ を通る．

(ⅱ)　 $\int_{- 1}^{2} f (x) d x = 15$ ．

以下の問に答えよ．

(1)　 $f (x)$ の $1$ 次の項の係数を求めよ．

(2)　 $2$ 次方程式 $f (x) = 0$ の $2$ つの解を $α ， β$ とするとき， $α$ と $β$ のみたす関係式を求めよ．

(3)　(2)における $α ， β$ がともに正の整数となるような $f (x)$ をすべて求めよ．

2017-10601-0103

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF4頁)へ

2017　神戸大学　前期

文科系

配点文科系25点

理科系【４】の類題．理科系は(4)を追加

易□　並□　難□

【３】　 $\vec{v_{1}} = (1, 1, 1) ， \vec{v_{2}} = (1, - 1, - 1) ， \vec{v_{3}} = (- 1, 1, - 1) ， \vec{v_{4}} = (- 1, - 1, 1)$ とする．座標空間内の動点 $P$ が原点 $O$ から出発し，正四面体のサイコロ $(1 ， 2 ， 3 ， 4 の目がそれぞれ確率 \frac{1}{4} で出る)$ をふるごとに，出た目が $k （ k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）$ のときは $\vec{v_{k}}$ だけ移動する．すなわち，サイコロを $n$ 回ふった後の動点 $P$ の位置を $P_{n}$ として，サイコロを $(n + 1)$ 回目にふって出た目が $k$ ならば

$\vec{P_{n} P_{n + 1}} = \vec{v_{k}}$

である．ただし， $P_{0} = O$ である．以下の問に答えよ．

(1)　点 $P_{2}$ が $x$ 軸上にある確率を求めよ．

(2)　 $\vec{P_{0} P_{2}} ⊥ \vec{P_{2} P_{4}}$ となる確率を求めよ．

(3)　 $4$ 点 $P_{0} ， P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ が同一平面上にある確率を求めよ．

2017-10601-0104

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF4頁)へ

2017　神戸大学　前期

理科系

配点30点

易□　並□　難□

【１】　 $n$ を自然数とする．

$f (x) = \sin x - n x^{2} + \frac{1}{9} x^{3}$

とおく． $3 < π < 4$ であることを用いて，以下の問に答えよ．

(1)　 $0 < x < \frac{π}{2}$ のとき， $f^{″} (x) < 0$ であることを示せ．

(2)　方程式 $f (x) = 0$ は $0 < x < \frac{π}{2}$ の範囲に解をただ $1$ つもつことを示せ．

(3)　(2)における解を $x_{n}$ とする． $\lim_{n \to \infty} x_{n} = 0$ であることを示し， $\lim_{n \to \infty} n x_{n}$ を求めよ．

2017-10601-0105

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF5頁)へ

2017　神戸大学　前期

理科系

配点30点

易□　並□　難□

【２】　 $n$ を自然数とする．以下の問に答えよ．

(1)　実数 $x$ に対して，次の等式が成り立つことを示せ．

$\sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} e^{- k x} - \frac{1}{1 + e^{- x}} = \frac{{(- 1)}^{n} e^{- (n + 1) x}}{1 + e^{- x}}$

(2)　次の等式をみたす $S$ の値を求めよ．

$\sum_{k = 0}^{n} \frac{{(- 1)}^{k} (1 - e^{- k})}{k} - S = {(- 1)}^{n} \int_{0}^{1} \frac{e^{- (n + 1) x}}{1 + e^{- x}} d x$

(3)　不等式

$\int_{0}^{1} \frac{e^{- (n + 1) x}}{1 + e^{- x}} d x ≦ \frac{1}{n + 1}$

が成り立つことを示し， $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k} (1 - e^{- k})}{k}$ を求めよ．

2017-10601-0106

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF6頁)へ

2017　神戸大学　前期

理科系

配点30点

易□　並□　難□

【３】　一辺の長さが $a_{0}$ の正四面体 ${OA}_{0} B_{0} C_{0}$ がある．図のように，辺 ${OA}_{0}$ 上の点 $A_{1} ，$ 辺 ${OB}_{0}$ 上の点 $B_{1} ，$ 辺 ${OC}_{0}$ 上の点 $C_{1}$ から平面 $A_{0} B_{0} C_{0}$ に下ろした垂線をそれぞれ $A_{1} {A_{1}}^{'} ， B_{1} {B_{1}}^{'} ， C_{1} {C_{1}}^{'}$ としたとき，三角柱 $A_{1} B_{1} C_{1} ‐ {A_{1}}^{'} {B_{1}}^{'} {C_{1}}^{'}$ は正三角柱になるとする．ただし，ここでは底面が正三角形であり，側面が正方形である三角柱を正三角柱とよぶことにする．同様に，点 $A_{2} ， B_{2} ， C_{2} ， {A_{2}}^{'} ， {B_{2}}^{'} ， {C_{2}}^{'} ， \dots$ を次のように定める．正四面体 ${OA}_{k} B_{k} C_{k}$ において，辺 ${OA}_{k}$ 上の点 $A_{k + 1} ，$ 辺 ${OB}_{k}$ 上の点 $B_{k + 1} ，$ 辺 ${OC}_{k}$ 上の点 $C_{k + 1}$ から平面 ${OA}_{k} B_{k} C_{k}$ に下ろした垂線をそれぞれ $A_{k + 1} {A_{k + 1}}^{'} ， B_{k + 1} {B_{k + 1}}^{'} ， C_{k + 1} {C_{k + 1}}^{'}$ としたとき，三角柱 $A_{k + 1} B_{k + 1} C_{k + 1} ‐ {A_{k + 1}}^{'} {B_{k + 1}}^{'} {C_{k + 1}}^{'}$ は正三角柱になるとする．辺 $A_{k} B_{k}$ の長さを $a_{k}$ とし，正三角柱 $A_{k} B_{k} C_{k} ‐ {A_{k}}^{'} {B_{k}}^{'} {C_{k}}^{'}$ の体積を $V_{k}$ とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　点 $O$ から平面 $A_{0} B_{0} C_{0}$ に下ろした垂線を $OH$ とし， $θ = ∠ {OA}_{0} H$ とするとき， $\cos θ$ と $\sin θ$ の値を求めよ．

(2)　 $a_{1}$ を $a_{0}$ を用いて表せ．

(3)　 $V_{k}$ を $a_{0}$ を用いて表し， $\sum_{k = 1}^{\infty} V_{k}$ を求めよ．

2017-10601-0107

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF6頁14行)へ

2017　神戸大学　前期

理科系

配点30点

文科系【３】の類題．文科系は(4)がない．

易□　並□　難□

【４】　 $\vec{v_{1}} = (1, 1, 1) ， \vec{v_{2}} = (1, - 1, - 1) ， \vec{v_{3}} = (- 1, 1, - 1) ， \vec{v_{4}} = (- 1, - 1, 1)$ とする．座標空間内の動点 $P$ が原点 $O$ から出発し，正四面体のサイコロ $(1 ， 2 ， 3 ， 4 の目がそれぞれ確率 \frac{1}{4} で出る)$ をふるごとに，出た目が $k （ k = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）$ のときは $\vec{v_{k}}$ だけ移動する．すなわち，サイコロを $n$ 回ふった後の動点 $P$ の位置を $P_{n}$ として，サイコロを $(n + 1)$ 回目にふって出た目が $k$ ならば

$\vec{P_{n} P_{n + 1}} = \vec{v_{k}}$

である．ただし， $P_{0} = O$ である．以下の問に答えよ．

(1)　点 $P_{2}$ が $x$ 軸上にある確率を求めよ．

(2)　 $\vec{P_{0} P_{2}} ⊥ \vec{P_{2} P_{4}}$ となる確率を求めよ．

(3)　 $4$ 点 $P_{0} ， P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ が同一平面上にある確率を求めよ．

(4)　 $n$ を $6$ 以下の自然数とする． $P_{n} = O$ となる確率を求めよ．

2017-10601-0108

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF8頁)へ

2017　神戸大学　前期

理科系

配点30点

易□　並□　難□

【５】　 $r ， c ， ω$ は正の定数とする．座標平面上の動点 $P$ は時刻 $t = 0$ のとき原点にあり，毎秒 $c$ の速さで $x$ 軸上を正の方向へ動いているとする．また，動点 $Q$ は時刻 $t = 0$ のとき点 $(0, - r)$ にあるとする．点 $P$ から見て，動点 $Q$ が点 $P$ を中心とする半径 $r$ の円周上を毎秒 $ω$ ラジアンの割合で反時計回りに回転しているとき，以下の問に答えよ．

(1)　時刻 $t$ における動点 $Q$ の座標 $(x (t), y (t))$ を求めよ．

(2)　動点 $Q$ の描く曲線が交差しない，すなわち， $t_{1} \neq t_{2}$ ならば $(x (t_{1}), y (t_{1})) \neq (x (t_{2}), y (t_{2}))$ であるための必要十分条件を $r ， c ， ω$ を用いて与えよ．

2017 神戸大学 前期MathJax

2017　神戸大学　前期MathJax