2017　鳥取大学　前期MathJax

2017-10661-0101

2017　鳥取大学　前期

地域，農学部

易□　並□　難□

【１】　三角形 $ABC$ の重心を $G$ とする．三角形 $ABC$ の各頂点 $A ， B ， C$ と点 $G$ を結ぶ直線が辺 $BC ， CA ， AB$ と交わる点を，それぞれ $D ， E ， F$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　三角形 $EFG$ の面積を $S$ とするとき，三角形 $BCG$ と三角形 $AFE$ の面積をそれぞれ $S$ を用いて表せ．

(2)　三角形 $ABC$ の面積は，四角形 $AFGE$ の何倍になるかを求めよ．

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数学入試問題さんの解答（PDF）へ

2017　鳥取大学　前期

地域，農学部

易□　並□　難□

【２】　平面上の点 $O$ を中心とする半径 $2$ の円周上に $3$ 点 $A ， B ， C$ があり， $2 \vec{OA} + 3 \vec{OB} - 4 \vec{OC} = \vec{0}$ を満たす．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　内積 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を求めよ．

(2)　線分 $AB$ の長さを求めよ．

(3)　線分 $AB$ と線分 $OC$ の交点を $D$ とするとき， $\vec{OD}$ を $\vec{OA} ， \vec{OB}$ で表せ．

(4)　四角形 $OBCA$ の面積を求めよ．

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地域，工，医（生命科，保健学科），農学部

工，医（生命科，保健学科）学部は【２】

医（医学科）学部【２】の類題．医学科では(3)を追加

易□　並□　難□

【３】　 $x y$ 平面において， $k x^{2} + k y^{2} + x - y - 4 k + 1 = 0$ で表される円 $C$ があるとき，以下の問いに答えよ．ただし， $k$ は正の実数とする．

(1)　 $k$ の値によらず円 $C$ が通る定点 $A ， B$ を求めよ．

(2)　円 $C$ の中心 $D$ と点 $E (1, 5)$ を結ぶ線分 $DE$ の長さが最小となるときの $k$ の値と，そのときの円 $C$ の半径 $r$ を求めよ．

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地域，工，医，農学部

工，医学部は【１】

易□　並□　難□

【４】　数列 ${a_{n}}$ を次のように定める． $a_{1} = 1$ とし，自然数 $n$ に対して $a_{n}$ が定まったとき，曲線 $C_{n} ： y = \frac{1}{a_{n}} x^{2}$ 上の点 $P_{n} (a_{n}, a_{n})$ を通り，点 $P_{n}$ における曲線 $C_{n}$ の接線に垂直な直線を $l_{n}$ とし， $C_{n}$ と $l_{n}$ の共有点のうち， $P_{n}$ と異なる点の $x$ 座標を $a_{n + 1}$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2)　 $C_{n}$ と $l_{n}$ で囲まれた部分の面積を $A_{n}$ とするとき， $\sum_{k = 1}^{n} A_{k}$ を求めよ．

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工，医学部

易□　並□　難□

【３】　 $x y$ 平面上の曲線 $C$ が

$| y - 3 x - 2 x^{2} | = - (x - 1) (2 x - 1)$

で定められているとき，この曲線 $C$ によって囲まれる図形の面積 $S$ を求めたい．以下の問いに答えよ．

(1)　曲線 $C$ 上の点の $x$ 座標がとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　面積 $S$ を求めよ．

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工，医（生命科，保健学科）学部

易□　並□　難□

【４】　関数 $f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ について，以下の問いに答えよ．

(1)　関数 $f (x)$ の増減を調べよ．

(2)　 $t > 0$ に対して， $x$ 軸上に点 $H (t, 0)$ をとり，曲線 $y = f (x)$ 上の点 $P (t, f (t))$ における法線と $x$ 軸との交点を $Q$ とする．このとき，三角形 $PQH$ の面積 $S (t)$ を $t$ を用いて表せ．

(3)　 $t > 0$ のとき，(2)で求めた面積 $S (t)$ の最大値を求めよ．

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医（医学科）学部

地域，農学部【３】，工，医（生命科，保健学科）学部【２】の類題

易□　並□　難□

【２】　 $x y$ 平面において， $k x^{2} + k y^{2} + x - y - 4 k + 1 = 0$ で表される円 $C$ があるとき，以下の問いに答えよ．ただし， $k$ は正の実数とする．

(1)　 $k$ の値によらず円 $C$ が通る定点 $A ， B$ を求めよ．

(2)　円 $C$ の中心 $D$ と点 $E (1, 5)$ を結ぶ線分 $DE$ の長さが最小となるときの $k$ の値と，そのときの円 $C$ の半径 $r$ を求めよ．

(3)　 $k$ を(2)で求めた値とする．円 $C$ 上の点 $Q$ と点 $E (1, 5)$ を結ぶ線分 $QE$ の中点を $P$ とする．点 $Q$ が円 $C$ 上を動くとき， $▵ ABP$ の面積の最大値を求めよ．

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医（医学科）学部

易□　並□　難□

【４】　 $▵ ABC$ において，点 $B$ から直線 $AC$ に下ろした垂線を $BQ ，$ 点 $C$ から直線 $AB$ に下ろした垂線を $CP$ とし，直線 $BQ$ と直線 $CP$ の交点を $H$ とする． $\vec{AB} = \vec{a} ，$ $\vec{AC} = \vec{b}$ とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $\vec{AP} ，$ $\vec{AQ}$ をそれぞれ $\vec{a} ，$ $\vec{b}$ を用いて表せ．

(2)　 $\vec{AH}$ を $\vec{a} ，$ $\vec{b}$ を用いて表し， $\vec{AH}$ は $\vec{BC}$ に直交することを示せ．

(3)　直線 $AH$ と直線 $BC$ の交点を $R$ とする． $a = | \vec{a} | ，$ $b = | \vec{b} | ，$ $x = \cos ∠ A$ とおくとき， ${| \vec{AR} |}^{2}$ を $a ，$ $b ，$ $x$ を用いて表せ．

(4)　 $AB \neq AC$ を満たす $▵ ABC$ において，辺 $AB$ および辺 $AC$ の長さをそれぞれ $a ， b$ で一定に保ちながら $∠ A$ の大きさを $0 < ∠ A < π$ の範囲で動かすとき， ${| \vec{AR} |}^{2}$ の最大値を求めよ．また，そのとき $▵ ABC$ はどのような三角形か．

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