2017　島根大学　前期MathJax

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　関数$f(x)$の${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 3$における最大値，最小値を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の$1\leqq x\leqq 5$における最大値，最小値を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$と直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$の共有点の$x$座標をすべて求めよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$s$を用いて表せ．

(2)　$f(s)$を求めよ．

(3)　関数$f(s)$が最小値をとる$s$の値を求めよ．

$I(a)={\displaystyle {\int }_0^1}{\{f^{\prime }(x)\}}^{2}dx$

とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$M(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　$I(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　不等式$M(a)\leqq I(a)$が成り立つことを示せ．

「$2$つの玉のうち$1$つを無作為に選び，それを，その時点で玉が入っていない$2$つの箱のいずれか$1$つに無作為に移動する．」

　この操作を$n$回繰り返したとき，$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$に入っている玉の個数の合計を$A_n$とする．例えば，操作を$n$回繰り返したとき，最初の状態に戻ったならば，$A_n=2$である．

　$A_n$が偶数である確率を$p_n\text{，}{A}_n$が奇数である確率を$q_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{q}_1\text{，}{p}_2\text{，}{q}_2$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}\text{，}{q}_{n+1}$を$p_n\text{，}{q}_n$を用いて表せ．

(3)　$q_n$を求めよ．

(1)　$1$個のサイコロを$1$回投げるとき，出た目の数を$m$とする．このとき，$P_m$が$x>0$かつ$y<0$の範囲にある確率を求めよ．

(2)　$1$枚の硬貨を$6$回投げるとき，表が出る回数を$m$とする．このとき，${\mathrm{P}}_m$が$x<0$かつ$y<0$の範囲にある確率を求めよ．

(1)　直線$y=mx+n$が楕円$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$に接するための条件を$m\text{，}n$を用いて表せ．

(2)　点$(2,1)$から楕円$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$に引いた$2$つの接線が直交することを示せ．

(3)　楕円$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$の直交する$2$つの接線の交点の軌跡を求めよ．

(1)　$\tan (B+C)$を$\tan A$を用いて表せ．

(2)　$C<90\mathrm{°}$を示せ．

(3)　 $\tan A\text{，}\tan B\text{，}\tan C$の組をすべて求めよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$とする．関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(2)　$n$を自然数とするとき，${\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}|f(x)|dx$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}|f(x)|dx$を求めよ．

(1)　線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを$x$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた式を$f(x)$と表すとき，$f(x)$の最小値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{BC}$の中点であるとする．線分$\mathrm{AQ}$の長さを$y$とし，線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CQ}$の長さの和を$g(y)$と表すとき，$g(y)$の最小値を求めよ．