2017　島根大学　後期総合理工学部MathJax

$\mathrm{A}(\sin \theta {\cos }^2\theta ,{\sin }^2\theta ,-{\sin }^2\theta \cos \theta )\text{，}$$\mathrm{B}(|\cos \theta |\cos \theta ,0,-|\cos \theta |\sin \theta )$

をそれぞれ座標空間の点とする．$t=\sin \theta$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．

(1)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$t$を用いて表せ．また，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$0\leqq \theta \leqq \pi$における$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　$0\leqq \theta \leqq \pi$における${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$の最大値と最小値を求めよ．

$z_n={\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}-i}{2}}\right)}^n$

により定める．ただし，$i$は虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\sqrt{3}-i$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(2)　すべての整数$n$に対して$z_{n+12}=z_n$であることを示せ．

(3)　$0$以上$11$以下の整数$n$で$z_n$が実数となるものをすべて求めよ．

(4)　複素数平面上の$3$点$z_{-1}\text{，}{z}_4\text{，}{z}_5$が一直線上にあるかないかを答え，その理由を述べよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　$a_1=\alpha$とし，数列$\{a_n\}$を漸化式

$a_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．ただし，$0\leqq \alpha \leqq 1$とする．すべての自然数$n$において，$a_n\leqq a_{n+1}$が成立することを示せ．