2017　島根大学　推薦I総合理工（数理・情報システム）学部数理MathJax

(1)　線分$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{n}{m+n}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{m}{m+n}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となることを証明せよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{Q}$があり，$3\overrightarrow{\mathrm{QA}}+4\overrightarrow{\mathrm{QB}}+5\overrightarrow{\mathrm{QC}}=\overrightarrow{0}$を満たしているとする．このとき，$▵\mathrm{QAB}\text{，}▵\mathrm{QBC}\text{，}▵\mathrm{QCA}$の面積比を求めよ．

(1)　点$\mathrm{A}$の座標を$(t,0)$とするとき，点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　点$(x,0)\text{（}0<x<1\text{）}$を通って$y$軸に平行な直線と線分$\mathrm{AB}$が交わるとき，その交点$\mathrm{P}$の$y$座標$f(t)$を$t$と$x$を用いて表せ．さらに，$f(t)$を$t$の関数と見たとき，$f(t)$の定義域を求めよ．

(3)　$f(t)$の最大値を$F(x)$とおくとき，$F(x)$を求めよ．

(4)　(3)の$F(x)$を$x$の関数とみるとき，曲線$y=F(x)$の概形を描け．

(5)　曲線$y=F(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を求めよ．

(1)　$a=1\text{，}b=0\text{，}c=1$のとき，$f(x+1)=f(x)+f(1)$を満たす実数$x$をすべて求めよ．

(2)　$f(x+1)=f(x)+f(1)$を満たす実数$x$が存在するような$a\text{，}b\text{，}c$の満たす条件を求めよ．

(3)　すべての実数$x$に対し$f(x+1)=f(x)+f(1)$かつ$f(1)=2$が成立するとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．