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2017 島根大学 推薦I総合理工(数理・情報システム 情報系コース)学部

易□ 並□ 難□

【2】 自然数から自然数への関数 f を次のように定義する.

f( x)= { 2 x=1 のとき) 3× f( x-1) +2 x>1 のとき)

 このとき,以下の問に答えよ.

(a) 関数 f の定義から, f( 2) の値を求めよ.ただし,計算過程も詳しく述べよ.

(b) (a)の値と関数 f の定義から, f( 3) の値を求めよ.ただし,計算過程も詳しく述べよ.

(c) 関数 f は自然数 x に対して等式 f (x )= 3x- 1 を満たす.この等式を自然数 x に関する数学的帰納法により示したい.次のアからオを適切な数や数式で埋めて証明を完成させよ.

(基礎段階): x=1 のとき;

関数 f の定義より, f( 1)= 3 1-1 = よって,等式 が成立する.

(帰納段階): x=k+ 1 のとき;

いま, x=k のとき,等式 (*)が成立すると仮定する.

このとき,

f( k+1 ) =3× f( k)+ 2 =3× ( ) +2 ((*)より) =

したがって,関数 f は自然数 x に対して等式 f (x )= 3x- 1 を満たす.

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易□ 並□ 難□

【3】  3 2 列に配置されたランプの点灯を,個別に制御することによって,文字を表現することを考える.以下,この仕組みを「明字」と呼ぶことにする.ひらがなの一部とそれぞれに対応する明字を以下の示す.

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濁音符

(黒丸は点灯,白丸は消灯を示す.一部は問題のために?になっている.)

 「ぢ」のような濁音は,濁点がつけられるひらがなに対応する明字の前に濁音符の明字を置く.

(例) 

=
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濁音符

(a) 次の明字をひらがなに直せ.

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(b) 次のひらがなを明字に直せ.

1) 「あかさたな」

2) 「あいうえお」

(c) 「ろ」と「き」の明字を推測して示し,推測の根拠も示せ.

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易□ 並□ 難□

【4】 値が 0 または 1 である信号を A 地点から送信して B 地点で受信することを考える. A 地点から 1 つの信号を送信してその値が変化せずに, B 地点で正しく受信される確率を p 0 p1 とする.信号の値 0 が変化した場合は 1 が,信号の値が 1 変化した場合は 0 が,それぞれ受信されるものとする.このように信号の値が変化したとき,送信された信号が誤って受信されたということにする.値の変化は 1 つの信号につき, 1 回までである.信号の値は変化することはあっても消滅することはない.

 以下では, 5 つの信号を 1 つずつ A 地点から送信することを考える.送信された 1 つの信号が正しく受信されたとき○,誤って受信されたとき×と書くとすると, 5 つの信号のうち, 2 つめの信号のみが誤って受信された場合は○,×,○,○,○と書くことができる.×の位置を考えると, 5 つの信号のうち,ちょうど 1 つの信号が誤って受信される場合は,全部で 5 通りあることがわかる.

(a) 送信された 5 つの信号のうち,ちょうど 2 つの信号が誤って受信される場合は何通りあるかを示せ.導出過程も示せ.

(b) 送信された 5 つの信号のうち, 1 つ以上が誤って受信される確率を p を使って表せ.

 以下では, A 地点から送信する 5 つの信号を, 0,0, 0,0, 0 1 ,1,1 ,1,1 2 種類に限ることにする. B 地点で 5 つの信号を受信したとき,次のように解釈することとする.

0 の個数の方が多ければ, 0,0, 0,0, 0 が送信されたと解釈する.

1 の個数の方が多ければ, 1,1, 1,1, 1 が送信されたと解釈する.

 たとえば, 0,1, 0,0, 1 を受信した場合は, 0 の個数が 3 1 の個数が 2 であることから, 0,0, 0,0, 0 が送信されたと解釈する.

(c) 受信した 5 つの信号を上記の方式で解釈する.信号の値が変化した場合でも,解釈した結果が実際に送信された信号と等しくなるのは,変化した信号の個数がいくつまでのときか.

(d) 受信した 5 つの信号を上記の方式で解釈する.解釈した結果が実際に送信された信号と等しくなる確率を p と使って表せ.導出過程も示せ.

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