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2017-10701-0101
2017 岡山大学 前期
数学I・数学II・数学A・数学B
易□ 並□ 難□
【1】 a を実数とする.座標平面内の曲線 C :y= x3-a ⁢x について,以下の問いに答えよ.
(1) a=5 のとき, C の接線で点 ( 1,0 ) を通るものの方程式を求めよ.
(2) C の接線で点 ( 1,0 ) を通るものが 3 本存在するような a の範囲を求めよ.
2017-10701-0102
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【2】 自然数 a を 7 で割ったあまりを R ⁡(a ) と書くことにする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) すべての自然数 n に対して R ⁡( 2n+3 )= R⁡( 2n ) となることを示せ.
(2) R⁡( 22017 ) を求めよ.
(3) 自然数 m が R ⁡( 22017⁢ m+229 )= 5 を満たすとき, R⁡( m) の値を求めよ.
2017-10701-0103
【3】 a を実数とする. x の 2 次関数 f ⁡(x )= x2+a ⁢x+1 の区間 a -1≦x ≦a+1 における最小値を m ⁡(a ) とする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) m⁡ ( 12 ) を求めよ.
(2) m⁡( a) を a の値で場合分けして求めよ.
(3) a が実数全体を動くとき, m⁡( a) の最小値を求めよ.
2017-10701-0104
数学I・数学II・数学A・数学B,数学I・数学II・数学III・数学A・数学B共通
【4】 座標平面の原点を O ( 0,0 ) とする.以下の問いに答えよ.
(1) 座標平面上の異なる 3 点 P , Q , R が
OP→ ⋅RQ →+ | OR→ |2 -OR→ ⋅OQ →=0
を満たしているとする.このとき RP→⊥ RQ→ となることを示せ.
(2) 点 Q の座標を ( 3,4 ) とし,点 R は | OR→ |=1 を満たしているとする.さらに, |OP →| ≦1 を満たすすべての点 P に対して
OP→ ⋅RQ →+ | OR→ |2 -OR →⋅ OQ→ ≦0
が成り立っているとする.このとき点 R の座標を求めよ.
2017-10701-0105
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) 6 人を 2 人ずつ 3 組に分ける方法は何通りあるか.
(2) 7 人を 2 人, 2 人, 3 人の 3 組に分ける方法は何通りあるか.
(3) A , B , C , D , E , F , G , H の 8 人から 7 人を選び,さらにその 7 人を 2 人, 2 人, 3 人の 3 組に分ける. A , B の 2 人がともに選ばれて,かつ同じ組になる確率を求めよ.
2017-10701-0106
【2】 座標平面内の 2 つの曲線
C1 :y=log ⁡(2 ⁢x) ,C 2:y =2⁢log ⁡x
の共通接線を l とする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) 直線 l の方程式を求めよ.
(2) C1 , C2 および l で囲まれる領域の面積を求めよ.
2017-10701-0107
【3】 座標空間内の 4 点 A ( 1,0, 0) ,B ( -1,0 ,0) ,C ( 0,1, 2) ,D ( 0,-1 ,2 ) を頂点とする四面体 ABCD を考える.このとき以下の問いに答えよ.
(1) 点 P ( 0,0, t) を通り z 軸に垂直な平面と,辺 AC が点 Q において交わるとする. Q の座標を t で表せ.
(2) 四面体 ABCD (内部を含む)を z 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.
2017-10701-0108
【4】 α は 0 <|α |<1 を満たす虚数であるとする.複素数平面上の点の列 z1 ,z 2 ,z 3 ,⋯ を, z1 =0 ,z 2=1 および
{ z2 ⁢n+1 -z 2⁢n =α⁢ (z 2⁢n -z2 ⁢n-1 ) ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ ) z2⁢n +2- z2⁢ n+ 1= α‾⁢ (z 2⁢n+ 1- z2⁢n ) ( n=1 , 2, 3, ⋯ )
で定める.ただし,虚数とは虚部が 0 でない複素数のことであり,また, α‾ は α に共役な複素数を表すものとする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) 次の等式が成り立つことを示せ.
z2⁢ n+2 -z2 ⁢n= |α |2 ⁢( z2⁢n -z 2⁢n- 2) ( n=2 ,3 , 4 ,⋯ )
(2) 偶数番目の点の列 z2 ,z 4 ,z 6 ,⋯ および奇数番目の点の列 z1 ,z 3 ,z 5 ,⋯ は,それぞれ同一直線上にあることを示せ.
(3) limn →∞ | zn-w |= 0 を満たす複素数 w を求めよ.