2017　岡山大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．座標平面内の曲線$C\text{：}y=x^3-ax$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$a=5$のとき，$C$の接線で点$(1,0)$を通るものの方程式を求めよ．

(2)　$C$の接線で点$(1,0)$を通るものが$3$本存在するような$a$の範囲を求めよ．

【２】　自然数$a$を$7$で割ったあまりを$R(a)$と書くことにする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して$R(2^{n+3})=R(2^n)$となることを示せ．

(2)　$R(2^{2017})$を求めよ．

(3)　自然数$m$が$R(2^{2017}m+2^{29})=5$を満たすとき，$R(m)$の値を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．$x$の$2$次関数$f(x)=x^2+ax+1$の区間$a-1\leqq x\leqq a+1$における最小値を$m(a)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$m\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$を求めよ．

(2)　$m(a)$を$a$の値で場合分けして求めよ．

(3)　$a$が実数全体を動くとき，$m(a)$の最小値を求めよ．

【４】　座標平面の原点を$\mathrm{O}(0,0)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　座標平面上の異なる$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{RQ}}+{\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|}^2-\overrightarrow{\mathrm{OR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=0$

を満たしているとする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{RP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{RQ}}$となることを示せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を$(3,4)$とし，点$\mathrm{R}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|=1$を満たしているとする．さらに，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|\leqq 1$を満たすすべての点$\mathrm{P}$に対して

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{RQ}}+{\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|}^2-\overrightarrow{\mathrm{OR}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\leqq 0$

が成り立っているとする．このとき点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は何通りあるか．

(2)　$7$人を$2$人，$2$人，$3$人の$3$組に分ける方法は何通りあるか．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$の$8$人から$7$人を選び，さらにその$7$人を$2$人，$2$人，$3$人の$3$組に分ける．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$人がともに選ばれて，かつ同じ組になる確率を求めよ．

【２】　座標平面内の$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=\log (2x)\text{，}{C}_2\text{：}y=2\log x$

の共通接線を$l$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2$および$l$で囲まれる領域の面積を求めよ．

【３】　座標空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,0,0)\text{，}\mathrm{C}(0,1,\sqrt{2})\text{，}\mathrm{D}(0,-1,\sqrt{2})$を頂点とする四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}(0,0,t)$を通り$z$軸に垂直な平面と，辺$\mathrm{AC}$が点$\mathrm{Q}$において交わるとする．$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．

(2)　四面体$\mathrm{ABCD}$（内部を含む）を$z$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　$\alpha$は$0<\left|\alpha \right|<1$を満たす虚数であるとする．複素数平面上の点の列$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3\text{，}\cdots$を，$z_1=0\text{，}{z}_2=1$および

$\{\begin{array}{cc}{z}_{2n+1}-z_{2n}=\alpha (z_{2n}-z_{2n-1})& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ z_{2n+2}-z_{2n+1}=\bar{\alpha }(z_{2n+1}-z_{2n})& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定める．ただし，虚数とは虚部が$0$でない複素数のことであり，また，$\bar{\alpha }$は$\alpha$に共役な複素数を表すものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　次の等式が成り立つことを示せ．

$z_{2n+2}-z_{2n}={\left|\alpha \right|}^2(z_{2n}-z_{2n-2})\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　偶数番目の点の列$z_2\text{，}{z}_4\text{，}{z}_6\text{，}\cdots$および奇数番目の点の列$z_1\text{，}{z}_3\text{，}{z}_5\text{，}\cdots$は，それぞれ同一直線上にあることを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }|z_n-w|=0$を満たす複素数$w$を求めよ．