2017　広島大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(\sin \theta ,{\sin }^2\theta )\text{，}\mathrm{B}(\cos \theta ,{\cos }^2\theta )$を考え，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$間の距離を$L$とする．ただし，$\theta$は条件

(＊)　$0\leqq \theta <2\pi$かつ$\sin \theta -\cos \theta -1>0$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　(＊)を満たす$\theta$の値を求めよ．

(2)　$t=\sin \theta \cos \theta$とおくとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$L$を(2)の$t$を用いて表せ．

(4)　$L$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

【２】　座標平面上の$3$点

$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(3,0)\text{，}\mathrm{B}(1,2)$

を考える．$\mathrm{C}$を線分$\mathrm{OA}$上にあり，$\angle \mathrm{OBC}=45\mathrm{°}$を満たす点とする．また，$\mathrm{P}$を$x$座標が$t$である直線$\mathrm{OA}$上の点とする．点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }$を次により定める．

(a)　点$\mathrm{P}$を通り傾きが$1$の直線と，直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(b)　点$\mathrm{Q}$を通り直線$\mathrm{OB}$に垂直な直線と，直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(c)　点$\mathrm{R}$を通り直線$\mathrm{BC}$と同じ傾きをもつ直線と，直線$\mathrm{OA}$の交点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とする．

次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．

(3)　点${\mathrm{P}}^{\prime }$の座標を$t$を用いて表せ．

(4)　点${\mathrm{P}}^{\prime }$の$x$座標を$f(t)$とする．数列$\{t_n\}$を

$t_1=2\text{，}{t}_{n+1}=f(t_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．数列$\{t_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$n$を$2$以上の整数とする．$n$個のさいころを投げ，出た目のすべての積を$X$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$X$が$5$の倍数である確率を$n$を用いて表せ．

(2)　$X$が$5$の倍数である確率が$0.99$より大きくなる最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{2}3=1.585\text{，}{\log }_{2}5=2.322$とする．

(3)　$X$が$3$でも$5$でも割り切れない確率を$n$を用いて表せ．

(4)　$X$が$15$の倍数である確率を$n$を用いて表せ．

【４】　座標平面上の二つの曲線

$C_1\text{：}y=4x^3-1\text{，}{C}_2\text{：}y=x^3$

を考える．$a>0$に対して，$x$座標が$a$である$C_1$上の点を$\mathrm{A}$とし，$\mathrm{A}$における$C_1$の接線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$p$とする．$p$の値を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を，$a$を用いて表せ．

(3)　直線$l$が$C_2$に接するとき，$a$の値を求めよ．

(4)　(3)のとき，直線$l$と$C_2$の接点を$\mathrm{B}$とする．$C_1\text{，}{C}_2$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{\sqrt{{a_n}^2+1}+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．次の問いに答えよ．

(1)　$a_2=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}{a}_3=\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$であることを示せ．

(2)　一般項$a_n$を表す$n$の式を推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^n{a}_n$を求めよ．

【２】　$a>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(t)=t^3-2at+1$の区間$t\geqq 0$における最小値を，$a$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた最小値が$0$となるときの$a$の値を$A$とおく．$A^3$を求めよ．

(3)　座標平面上の曲線$y=x^4$を$C_1\text{，}$点$(0,a)$を中心とする半径$a$の円を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の共有点の個数を調べよ．

(4)　座標平面において，点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^4$上を動くときの点$\mathrm{P}$と点$(0,a)$の距離の最小値を考える．その最小値が$a$に等しくなるような$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　表が出る確率が$p\text{，}$裏が出る確率が$1-p$であるようなコインがある．ただし，$0<p<1$である．このとき，右図のような正三角形の$3$頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を次の規則で移動する動点$\mathrm{R}$を考える．

　コインを投げて表が出れば$\mathrm{R}$は反時計まわりに隣の頂点に移動し，裏が出れば$\mathrm{R}$は時計まわりに隣の頂点に移動する．

$\mathrm{R}$は最初$\mathrm{A}$にあり，全部で$(2N+3)$回移動する．ここで，$N$は自然数である．移動回数がちょうど$k$に達したときに$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$に初めて戻る確率を$P_k\text{（}k=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}2N+3\text{）}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$P_2\text{，}{P}_3$を求めよ．

(2)　$P_{2m}\text{，}{P}_{2m+1}\text{（}2\leqq m\leqq N+1\text{）}$を求めよ．

(3)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．移動回数がちょうど$2N+3$に達したときに$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$に$2$度目に戻る確率$Q$を求めよ．

【４】　座標空間内の平面$H\text{：}z=0$とその上の曲線$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$を考える．$C$上の点を通り$z$軸に平行な直線の全体が作る曲面を$K$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{A}(-1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)\text{，}\mathrm{B}(-1,-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)$に対し，線分$\mathrm{AB}$を含み平面$H$と$45\mathrm{°}$の角をなす平面を$T$とする．ただし，平面$T$と$z$軸の交点の$z$座標は正であるとする．平面$H\text{，}$平面$T$および曲面$K$が囲む二つの立体のうち$z$軸と交わるものを$V$とする．次の問いに答えよ．

(1)　立体$V$と平面$H$の共通部分（右図の灰色で示される部分）の面積を求めよ．

(2)　立体$V$を平面$x=t\text{（}-1<t<2\text{）}$で切ったとき，断面の面積$S(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　立体$V$の体積を求めよ．

【５】　$x$座標，$y$座標がともに整数である座標平面上の点を格子点とよぶ．格子点$\mathrm{O}(0,0)$および$\mathrm{A}(50,14)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6$を満たす格子点$\mathrm{P}$を一つ求めよ．

(2)　$m$を自然数とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6$を満たす格子点$\mathrm{P}$のうち，長さ$\mathrm{OP}$が$m$番目に小さい点を${\mathrm{P}}_m$とする．${\mathrm{P}}_1$および${\mathrm{P}}_2$を求めよ．

(3)　${\mathrm{P}}_m$を(2)で定めた格子点とする．自然数$k$に対し，ベクトル$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{2k}{\mathrm{P}}_{2k+1}}$および$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{2k}{\mathrm{P}}_{2k+2}}$を成分表示せよ．

(4)　${\mathrm{P}}_m$を(2)で定めた格子点とする．$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{14}{\mathrm{P}}_{16}}$を満たす点とする．四角形${\mathrm{OQP}}_{16}{\mathrm{P}}_{14}$の周および内部に含まれる格子点をすべて求めよ．