2017　広島大学　後期MathJax

【１】　$k$を実数とし，楕円$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$と直線$l\text{：}x-y=k$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$が楕円$E$に接するための$k$の条件を求めよ．

(2)　直線$l$と楕円$E$が異なる$2$個の共有点を持つとき，$k$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$k$が(2)で求めた範囲を動くとき，直線$l$と楕円$E$の$2$個の共有点の中点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【２】　$n$は自然数とし，連立不等式

$y\leqq x\text{，}x+y\leqq 2n\text{，}y\geqq 0$

の表す領域を$A$とする．座標平面上の点の$x$座標，$y$座標がともに整数であるとき，その点を格子点という．次の問いに答えよ．

(1)　領域$A$の含まれる格子点の個数を求めよ．

(2)　領域$A$に含まれる格子点の中から無作為に異なる$2$点$(x_1,y_1)$と$(x_2,y_2)$を選ぶとき，$y_1=y_2$となる確率を求めよ．

(3)　領域$A$に含まれる格子点の中から無作為に異なる$2$点$(x_1,y_1)$と$(x_2,y_2)$を選ぶとき，$x_1+y_1=x_2+y_2$となる確率を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_n={\displaystyle \frac{2n+2}{2n+1}}\times {\displaystyle \frac{2n+4}{2n+3}}\times \cdots \times {\displaystyle \frac{4n}{4n-1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．次の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{2n+2k}}$の値を求めよ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$は$0<\alpha <\beta$を満たす実数とする．不等式

${\displaystyle \frac{1}{\beta +1}}<{\displaystyle \frac{\log (\beta +1)-\log (\alpha +1)}{\beta -\alpha }}<{\displaystyle \frac{1}{\alpha +1}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$n\text{，}k$を自然数とする．不等式

${\displaystyle \frac{1}{2n+2k}}<\log {\displaystyle \frac{2n+2k}{2n+2k-1}}<{\displaystyle \frac{1}{2n+2k-1}}$

が成り立つことを示せ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　$p=\sqrt{5}+1$とし，$f(x)=px(1-x)\text{，}g(x)=f(f(x))$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(1-{\displaystyle \frac{1}{p}})$と$g(1-{\displaystyle \frac{1}{p}})$の値を求めよ．

(2)　$4$次方程式$g(x)=x$を解け．

　以下の問いでは(2)で求めた$4$次方程式の解を大きい順に$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{，}\delta$とする．

(3)　$\gamma <x<\beta$ならば$\beta <f(x)<\alpha$となることを示せ．

(4)　$\gamma <a_1<\beta \text{，}{a}_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．このとき

$a_{2n+1}<a_{2n-1}<\beta <a_{2n}<a_{2n+2}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．

【１】　座標平面上の二つの曲線

$y=2\sqrt{x}\text{，}y=x^2-3x$

をそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【２】　次の三つの複素数を考える．

$\alpha =1+i\text{，}\beta =4+2i\text{，}\gamma =3+3i$

複素数平面上で，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$に対応する点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とし，$0$に対応する点を$\mathrm{O}\text{，}1$に対応する点を${\mathrm{P}}_0$とする．点${\mathrm{P}}_1$を次の性質を満たす複素数平面上の点とする．

・${\mathrm{P}}_1$に対応する複素数$z_1$の虚部は正である．

・$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}={\mathrm{OP}}_0:{\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1:{\mathrm{P}}_1\mathrm{O}$

さらに，複素数平面上の点${\mathrm{P}}_n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を次の性質を満たすように定める．

・$▵{\mathrm{OP}}_{n-2}{\mathrm{P}}_{n-1}$と$▵{\mathrm{OP}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$は辺${\mathrm{OP}}_{n-1}$以外に共通部分をもたない．

・$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}={\mathrm{OP}}_{n-1}:{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n:{\mathrm{P}}_n\mathrm{O}$

点${\mathrm{P}}_n$に対応する複素数を$z_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　複素数$z_1$を求めよ．

(2)　複素数$z_2$を求めよ．

(3)　正の整数$n$に対し，$▵{\mathrm{OP}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$の面積を$n$を用いて表せ．

(4)　$z_n$の実部が正であり，かつ虚部が負となる最小の$n$を求めよ．必要ならば三角関数表を用いてもよい．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき$\log x<4\sqrt[4]{x}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w$を正の実数とする．次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{4}{\sqrt[4]{xyzw}}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}+{\displaystyle \frac{1}{w}}$

(3)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を正の実数とする．$4$次式$x^4-a{x}^3+b{x}^2-cx+d$は正の実数$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$を用いて

$x^4-a{x}^3+b{x}^2-cx+d=(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)$

と因数分解されるとする．このとき${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}$を，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$のうち必要なものを用いて表せ．

(4)　(3)において，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$|\log d|<\max (a,{\displaystyle \frac{c}{d}})$

ただし，二つの実数$x\text{，}y$のうちの最大の数を$\max (x,y)$で表す．たとえば，$\max (1,2)=2\text{，}\max (3,3)=3$である．

【４】　数直線上を次の規則で移動する動点$\mathrm{R}$を考える．

　さいころを投げて$1$または$2$の目が出たときには$\mathrm{R}$は$+1$だけ移動し，$3$以上の目が出たときには$-2$だけ移動する．

最初，$\mathrm{R}$は原点にあるとし，ちょうど$n$回移動した後の$\mathrm{R}$の座標を$X_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．整数$x$に対し，$X_n\geqq x$となる確率を$P(n,x)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{3}}<r<1$および${\displaystyle \frac{2}{3}}{r}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}{r}^{-1}=1$を満たす実数$r$がただ一つ存在することを示せ．

(2)　$x$を整数とする．$P(1,x)$を求めよ．さらに，(1)の$r$に対し，不等式$P(1,x)<r^x$が成り立つことを示せ．

(3)　自然数$n$と整数$x$に対し，$P(n+1,x)$を$P(n,x-1)$と$P(n,x+2)$を用いて表せ．

(4)　$n$を$2$以上の自然数とし，$x$を整数とする．(1)の$r$に対し，不等式$P(n,x)<r^2$が成り立つことを証明せよ．

【５】　ある晴れた日，長さ$120\mathrm{cm}$の棒を地面に対して垂直に立てたところ，地面にできた棒の影の長さは$90\mathrm{cm}$であった．太陽光線はすべて平行であると仮定して，次の問いに答えよ．ただし，地面は水平であり，棒の太さおよび太陽の動きは考えないものとする．

(1)　この時刻における，太陽光線と地面がなす角度$\theta$を求めよ．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 90\mathrm{°}$とする．単位は度（$\mathrm{°}$）を用い，小数点以下を切り捨てて整数で答えよ．必要ならば三角関数表を用いてもよい．

(2)　長さ$120\mathrm{cm}$の棒の一方の先端を地面の定点$\mathrm{A}$に固定し，常に棒が地面と$60\mathrm{°}$の角度をなすようにして，可能な限り棒を動かした．このとき，地面にできた棒の影の先端が描く軌跡はどのような図形であるか．たとえば，「$\mathrm{A}$から$60\mathrm{°}$離れた点を中心とする，半径$30\sqrt{2}\mathrm{cm}$の円」のように，言葉を用いて答えよ．

(3)　地面の上に直径$60\mathrm{cm}$の球を置いた．このとき，地面にできた球の影はどのような形であるか．次の(a)〜(f)のうちから，最も適切なものを一つ選べ．ただし，点線は真上から見た球の位置を表している．

(4)　(3)のとき，地面にできた球の影の面積を求めよ．ただし，円周率は$\pi$を用いよ．