2017　広島大学　AO入試理学部数学科MathJax

【１】　$t>0$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標空間上に$3$点

$\mathrm{A}(t,-\sqrt{2}\sin {\displaystyle \frac{\pi t}{4}},0)\text{，}\mathrm{B}(t,\sqrt{2}\cos {\displaystyle \frac{\pi t}{4}},0)\text{，}\mathrm{C}(t,0,{\displaystyle \frac{1}{t}})$

がある．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になるような$t$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{AB}$を底辺とする二等辺三角形になるような$t$をすべて求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積の最大値とそのときの$t$をすべて求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする複素数平面上で，実数$2$と$4$を結ぶ実軸上の線分を$L$とする．また，$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上で，実部，虚部ともに正である点からなる部分を$C$とする．$L$上に点$\mathrm{P}(\alpha )\text{，}C$上に点$\mathrm{Q}(\beta )$があるとし，点$\mathrm{P}$を，点$\mathrm{Q}$のまわりに${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$だけ回転した点を$\mathrm{R}(\gamma )$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\gamma$を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(2)　$\beta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}i$とする．点$\mathrm{P}$が$L$上のすべての点を動くとき，点$\mathrm{R}$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．

(3)　$\alpha =2$とする．点$\mathrm{Q}$が$C$上のすべての点を動くとき，点$\mathrm{R}$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．

【３】　$x$座標，$y$座標がともに整数である座標平面上の点を，ここでは格子点という．座標平面上の格子点$(m,n)$を通り，直線$qx-py=0$に垂直な直線を$l$とする．ただし，$p\text{，}q$はどちらも$0$でない整数で，互いに素であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　座標平面上の格子点$(a,b)$と$l$の距離を求めよ．

(3)　$l$上にない格子点のうち，$l$との距離が最小となる点の$1$つを$(c,d)$とする．点$(c,d)$と$l$の距離を求めよ．

【４】　$x\text{，}y$は非負の整数で

$x^3-7x+6=6y^2+24y$

を満たすものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$y=0$のとき，$x$の値を求めよ．

(2)　$y\ne 2$であることを示せ．

(3)　$y$が奇数ならば，$x$は$4$の倍数であることを示せ．

(4)　$y$が素数であるとき，$x$の値を求めよ．

【５】　$n$を自然数とする．最初に，動点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がそれぞれ，座標平面上の点$(0,0)\text{，}(n,n)$に置かれている．大小の硬貨$1$枚ずつを同時に投げ，次のように動点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が動くものとする．

大きい方の硬貨が表なら動点$\mathrm{A}$は$x$軸の正の方向に$1$動く．

大きい方の硬貨が裏なら動点$\mathrm{A}$は$y$軸の正の方向に$1$動く．

小さい方の硬貨が表なら動点$\mathrm{B}$は$x$軸の負の方向に$1$動く．

小さい方の硬貨が裏なら動点$\mathrm{B}$は$y$軸の負の方向に$1$動く．

この試行を$n$回繰り返した後，動点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が同じ点に到達する確率を$P_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$P_3\text{，}{P}_4$を求めよ．

(2)　多項式${(1+x)}^{2n}$と${(1+x)}^n{(x+1)}^n$の$x^n$の係数を比較することにより，${}_{2n}C_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{{}_{n}C_k}^2$となることを示せ．

(3)　$P_n$を求めよ．

(4)　数列$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$は以下の関係式を満たすとする．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_n=(1-{\displaystyle \frac{1}{2n}})a_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

$n\geqq 2$のとき，$a_n<n^{-1/3}$となることを示せ．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$を求めよ．