2017　山口大学　前期MathJax

【１】　$3$次関数$f(x)=x^2$を考える．曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線が，直線$y=x$と交わる点を$(b,b)$とおく．ただし，$a^2\geqq 1$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$b$を$a$を用いて表しなさい．

(2)　関数$y=f(x)-x$の極値を求め，グラフの概形をかきなさい．

(3)　$a-b={\displaystyle \frac{6}{11}}$となるとき，$a$の値を求めなさい．

【２】　$x\text{，}y$を$0<x<1\text{，}0<y<1$を満たす実数とする．面積が$1$の$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}}=x\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CA}}}=y\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たすようにとる．$▵\mathrm{AFE}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とおくとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$x={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}y={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$S_1$と$S_2$を求めなさい．

(2)　$S_2$を$x\text{，}y$を用いて表しなさい．

(3)　$2$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$が$\mathrm{DE}⫽\mathrm{BA}$を満たしながら動くとき，$S_2$の最大値を求めなさい．

【３】　初項$a\text{，}$公比$r$の等比数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．$m$を自然数とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a\ne 0\text{，}r>0$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{S_{2m}}{S_m}}$を$r$と$m$を用いて表しなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{S_{3m}}{S_m}}$を$r$と$m$を用いて表しなさい．

(3)　$S_m=4\text{，}{S}_{2m}=20$のとき，$S_{6m}$の値を求めなさい．

【４】　$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードを横一列に並べる．左から$n$番目のカードに書かれた整数を$a_n$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$a_3=3$である確率を求めなさい．

(2)　$a_1>a_6$である確率を求めなさい．

(3)　$a_1<a_3<a_5$かつ$a_2<a_4<a_6$である確率を求めなさい．

【１】　$2$次関数$f(x)=x^2+2ax+2a^2-a+1$について，次の問いに答えなさい．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)　$y=f(x)$のグラフの頂点の座標を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$-1\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最小値が$2a$となる$a$の値をすべて求めなさい．

(3)　$-1\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最小値を$m\text{，}$最大値を$M$とするとき，$3m-2M+3=0$を満たす$a$の値をすべて求めなさい．

【２】　$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}\cos \beta ={\displaystyle \frac{7}{8}}$を満たす実数$\alpha \text{，}\beta$について，次の問いに答えなさい．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　$\sin 2\alpha$と$\cos 2\beta$の値を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$が成り立つことを示しなさい．

(3)　${\displaystyle \frac{\pi }{12}}<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$が成り立つことを示しなさい．

【３】　$0<t<1$とする．平行六面体$\mathrm{OADB}‐\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{DG}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$t:(1-1)$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABQ}$との交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}t$を用いて表しなさい．

(2)　点$\mathrm{R}$が三角形$\mathrm{ABQ}$の重心と一致するとき，$t$の値を求めなさい．

(3)　直線$\mathrm{AR}$と直線$\mathrm{BQ}$との交点が線分$\mathrm{BQ}$を$3:2$に内分するとき，$t$の値を求めなさい．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$を考える．$xy$平面において，曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)$の極値と，曲線$C$の変曲点を求めなさい．

(2)　$a>1$のとき，曲線$C\text{，}$直線$x=a$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表しなさい．

【２】　$x\text{，}y\text{，}z$を$0<x<1\text{，}0<y<1\text{，}0<z<1$を満たす実数とする．面積が$1$の$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}}=x\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{CA}}}=y\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}}=z$を満たすようにとる．$▵\mathrm{AFE}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{DEF}$の面積を$S_2$とおくとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$x={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}y={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}z={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$S_1$と$S_2$を求めなさい．

(2)　$S_2$を$x\text{，}y\text{，}z$を用いて表しなさい．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の重心と$▵\mathrm{DEF}$の重心が一致し，かつ$S_2={\displaystyle \frac{1}{3}}$が成り立つような$x\text{，}y\text{，}z$の組$(x,y,z)$をすべて求めなさい．

【３】　$\alpha =\sin {\displaystyle \frac{\pi }{10}}+i\cos {\displaystyle \frac{\pi }{10}}$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　複素数$\alpha$を極形式で表しなさい．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(2)　$2$個のさいころを同時に投げて出た目を$k\text{，}l$とするとき，${\alpha }^{kl}=1$となる確率を求めなさい．

(3)　$3$個のさいころを同時に投げて出た目を$k\text{，}l\text{，}m$とするとき，${\alpha }^k\text{，}{\alpha }^l\text{，}{\alpha }^m$が異なる$3$つの複素数である確率を求めなさい．

【４】　$a$を正の実数とし，関数$f(x)=|e^x-e^a|$を考える．$xy$平面において，曲線$y=f(x)$を$C$とし，曲線$C$と$y$軸との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とすると，$C$と$l$は接点$\mathrm{P}$を含めてちょうど$2$点を共有する．点$\mathrm{P}$と異なる共有点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とすると，図より$b>a$であることが分かる．このとき，次の問いに答えなさい．ただし，必要ならば，関数の極限の公式$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{e^x}}=0$を証明なしに用いてもよい．

(1)　直線$l$の方程式を求めなさい．

(2)　$\underset{a\to \infty }{\lim }(b-a)=\log 2$が成り立つことを示しなさい．

(3)　$C$と$l$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，極限値$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S}{e^a}}$を求めなさい．