2017　徳島大学　前期MathJax

【１】　$1$辺の長さが$2$の正三角形とその内接円の接点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{P}$が内接円の円周上にあるとき，次の問いに答えよ．

(1)　内接円の中心を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OA}$の長さを求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の値を求めよ．

(3)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{PA}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{PC}}\right|}^2$の値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が円周上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値および最小値を求めよ．

【２】　$n$を$4$以上の整数とする．

(1)　$(n+1)(3n^{-1}+2)(n^2-n+1)$と表される数を$n$進法の小数で表せ．

(2)　$3$進数${20201}_{(3)}$を$n$進法で表すと${320}_{(n)}$となるような$n$の値を求めよ．

(3)　正の整数$N$を$3$倍して$7$進法で表すと$3$桁の数${abc}_{(7)}$となり，$N$を$4$倍して$8$進法で表すと$3$桁の数${abc}_{(8)}$となる．各位の数字$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．また，$N$を$10$進法で表せ．

【３】　$n$を$2$以上の整数とする．すべての$x>0$に対して不等式$\log x\leqq a\sqrt[n]{x}$が成り立つような正の定数$a$の最小値を$a_n$とする．

(1)　最小値$a_n$を求めよ．

(2)　$\log x=a_n\sqrt[n]{x}$を満たす正の数$x$を求めよ．

(3)　$2$つの曲線$y=\log x\text{，}y=a_n\sqrt[n]{x}$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ．

(4)　すべての$x>0$に対して不等式$\log x\leqq a_2\sqrt{x}$が成り立つことを利用して，(3)の$S_n$について$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log (1+S_n)}{n}}$を求めよ．

【４】　$1$個のさいころを投げて，出た目が偶数ならば出た目の半分の数を得点とし，出た目が奇数ならば出た目を得点とする．さいころを$n$回投げたときの得点の合計を考える．例えば，さいころを$3$回投げて出た目が$2\text{，}3\text{，}6$のとき，得点の合計は${\displaystyle \frac{2}{2}}+3+{\displaystyle \frac{6}{2}}=7$である．このとき，次の確率を求めよ．

(1)　さいころを$2$回投げたとき，得点の合計が$6$になる確率

(2)　さいころを$4$回投げたとき，得点の合計が$10$になる確率

(3)　さいころを$4$回投げて，$2$回目に$5$または$6$の目が出たとき，得点の合計が$10$になる確率

【１】　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が次を満たす．

$a_n+2S_n=3\cdot 2^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

(3)　$S_1+3S_2+3^2{S}_3+\cdots +3^{n-1}{S}_n$を求めよ．

【２】　複素数平面上で，原点$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{A}(\alpha )$をとり，単位円周上に点$\mathrm{B}(\beta )$をとる．複素数$\alpha \text{，}\beta$は$\arg \alpha -\arg \beta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たし，さらに$\alpha +\beta$は実数でないとする．

(1)　$\beta$を$\alpha$と$\left|\alpha \right|$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の垂直$2$等分線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{C}(\gamma )$とするとき，$\gamma$を$\alpha$と$\left|\alpha \right|$を用いて表せ．

(3)　$\angle \mathrm{APB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす原点と異なる虚軸上の点を$\mathrm{P}(z)$とする．$z$を$\alpha \text{，}\bar{\alpha }$と$\left|\alpha \right|$を用いて表せ．ただし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$と共役な複素数である．

【３】　$n$を$2$以上の自然数とする．媒介変数$t$を用いて$x={\cos }^{n}t\text{，}y={\sin }^{4}t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と表される$xy$平面上の曲線を$C_n$とする．また，$t={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$に対応する点における$C_n$の接線を$l_n$とする．曲線$C_n\text{，}$接線$l_n$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．ただし，$C_n$と$l_n$の共有点が$1$個であることを証明なしで用いてよい．

(1)　接線$l_n$の方程式を求めよ．

(2)　$S_2$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^{n}n{S}_n$を求めよ．

【４】　$n<m$とする．白玉$n$個と赤玉$m$個が入っている袋から$n$個の玉を同時に取り出す．このとき，$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して，白玉がちょうど$k$個出る確率を$p_k$とする．

(1)　$n=2\text{，}m=3$のときに，$p_0\text{，}{p}_1\text{，}{p}_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 6$とする．$p_5=p_6$が成り立つような組$(n,m)$の中で$n$が最小となるものを求めよ．

(3)　$n\geqq 3$とする．$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して，$d_k=|{\displaystyle \frac{n}{n+m}}-{\displaystyle \frac{k}{n}}|$とする．$d_2>d_3$および$p_2>p_3$が同時に成り立つような組$(n,m)$の中で$n$が最小となるものを求めよ．