2017　徳島大学　後期理工学部MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．関数$f(x)=ax{e}^{-x}+b{e}^{-x}$は，関係式$f^{\prime }(x)+f(x)=3e^{-x}$を満たす．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$f(0)=f(\log 2)$が成り立つとする．$b$の値を求めよ．また，${\displaystyle {\int }_0^{\log 2}}f(x)dx$の値を求めよ．

(3)　$b$が(2)で求めた値であるとき，関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

【２】　数列

$1,1,4,7,1,4,7,10,13,1,4,7,10,13,16,19,1,4,7,\cdots$

の規則性を推測し，次の問いに答えよ．

(1)　$8$回目に現れる$10$は第何項か．

(2)　初項から$k$回目の$10$までの項の和を求めよ．

(3)　初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n>2017$となる最小の$n$を求めよ．

【３】　複素数平面上の原点と異なる点$\alpha$に対して，$z={\displaystyle \frac{{\alpha }^2-4}{\alpha }}+4i$とする．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$\alpha =a+bi$（$a\text{，}b$は実数），$z=x+yi$（$x\text{，}y$は実数）とするとき，$x$および$y$をそれぞれ$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$\alpha$が単位円周上を動くとき，$z=x+yi$（$x\text{，}y$は実数）が$xy$平面に描く図形の方程式を求めよ．

(3)　$\alpha$の極形式を$\alpha =r(\cos \theta +i\sin \theta )$とおき，$\beta =(\sqrt{r}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{r}}}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}})+i(\sqrt{r}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{r}}}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}})$とする．${\beta }^2=z$であることを示せ．

(4)　(3)で定めた$\beta$において$r=1$とする．$\theta$が$0\leqq \theta \leqq 4\pi$の範囲を動くとき，$\beta =x+yi$（$x\text{，}y$は実数）が$xy$平面に描く図形の方程式を求めよ．