2017　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8\text{，}\mathrm{AC}=6\text{，}\angle \mathrm{A}=120\mathrm{°}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．

(2)　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{AM}$の長さを求めなさい．

(3)　頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とするとき，$\mathrm{AH}$の長さを求めなさい．

【２】　$x$についての連立不等式

$\{\begin{array}{l}ax>2a-3\\ (b+1)x>2+b-b^2\end{array}\text{（}a\ne 0\text{，}b\ne -1\text{）}$

の解が$-2<x<4$となるように，定数$a\text{，}b$の値を定めなさい．

【３】　$t$を実数解とし，$x$についての二次関数$y=x^2+(t^2+t)x-2t^2-2t-3$のグラフを$C_t$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$C_t$は常に$1$つの定点$\mathrm{A}$を通ることを示し，この定点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．

(2)　$C_t$は必ず$x$軸と$2$点で交わり，それぞれの交点と(1)で求めた定点$\mathrm{A}$を結んだ線分の一方は必ず$y$軸と交わり，他の一方は$y$軸と交わらないことを示しなさい．

(3)　(2)において$y$軸と交わる方の線分を$\mathrm{AB}$とし，線分$\mathrm{AB}$と$y$軸の交点を$\mathrm{D}\text{，}$原点を$\mathrm{O}$とする．$▵\mathrm{OAD}$と$▵\mathrm{OBD}$の面積が同じになるときの$t$の値と$▵\mathrm{OAD}$の面積を求めなさい．

【４】　図のように正三角形$\mathrm{ABC}$を，互いに重ならない$7$つの正三角形$▵{\mathrm{AB}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{BC}}^{\prime }\text{，}$$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{C}\text{，}$$▵{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{″}{\mathrm{C}}^{″}\text{，}$$▵{\mathrm{A}}^{″}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{″}\text{，}$$▵{\mathrm{A}}^{″}{\mathrm{B}}^{″}{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$$▵{\mathrm{A}}^{″}{\mathrm{B}}^{″}{\mathrm{C}}^{″}$に分割する．この分割した$7$つの正三角形に色を塗るとき，塗り方の場合の数を考える．ただし，$120\mathrm{°}$回転させて同じパターンの塗り方となるものは，同じと考える．次の問いに答えなさい．

(1)　異なる$7$種類の色をそれぞれ$1$つの正三角形に塗る場合，塗り方は何通りあるか求めなさい．

(2)　$7$つの正三角形を赤色または青色に塗る．ただし，赤色に塗る正三角形の数は$4$つ，青色に塗る正三角形の数は$3$つとし，隣り合う正三角形を同じ色で塗ってもよい．このとき，塗り方は何通りあるか求めなさい．

【５】　次の問いに答えなさい．

(1)　$x\text{，}y$が$2$以上の実数であれば，$x+y\leqq xy$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$はすべて素数であり，$a\leqq b\leqq c\leqq d\leqq e$を満たし，それらの積がそれらの和の$6$倍になるという．そのような素数の組$(a,b,c,d,e)$をすべて求めなさい．