2017　愛媛大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$つの集合

$\mathrm{A}=\{x|x\text{は整数，}1\leqq x\leqq 1000\}$

$\mathrm{B}=\{x|x\text{は}30\text{と互いに素な自然数}\}$

の共通部分$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$の要素の個数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$x\text{，}y$を整数とするとき，次の式を満たす整数$a\text{，}b$を$x\text{，}y$を用いて表せ．

${\displaystyle \frac{4^x\times 6^{x+y}\times {12}^{x-y}}{{16}^x\times 9^{2x-3y}}}=2^a\times 3^b$

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$1$次不定方程式$275x+61y=1$のすべての整数解を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$\sin 75\mathrm{°}$の値を求めよ．

【２】　放物線$y=-x^2+x+2$を$C$とし，$C$と$x$軸との$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいとする．また，点$\mathrm{P}$は$C$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動く．$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と異なるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{PAB}$の面積が最大になるとき，$\mathrm{P}$の座標および$▵\mathrm{PAB}$の面積を求めよ．

(2)　放物線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$▵\mathrm{PAB}$の面積が${\displaystyle \frac{S}{3}}$となる$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

(3)　直線$y=-2x+5$を$l$とする．$\mathrm{P}$と$l$の距離が最小になるとき，$\mathrm{P}$の座標および$\mathrm{P}$と$l$の距離を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　複素数平面において，$3$点$\mathrm{A}(1+2i)\text{，}\mathrm{B}(3+4i)\text{，}\mathrm{C}(z)$が正三角形の頂点となる複素数$z$をすべて求めよ．ここで，$i$は虚数単位である．

【３】　次の問いに答えよ．

(2)　$2$つの関数

$f(x)=2x+\sqrt{3}+4\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{），}$

$g(x)=x+\sqrt{3}-2\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

がある．$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$および直線$x=\pi$で囲まれた部分を$D$とする．

(ⅰ)　関数$y=f(x)$および$y=g(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，$D$を図示せよ．

(ⅱ)　$D$の面積$S$を求めよ．

【４】　座標空間内に異なる$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．線分$\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{KL}}=\overrightarrow{\mathrm{NM}}$を示せ．

(2)　$p\text{，}q$を実数とし，点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(0,0,0)\text{，}(4,6,0)\text{，}(1,1,0)\text{，}(p,3,q)$とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{LN}}$を$p\text{，}q$を用いて成分で表せ．

(ⅱ)　四角形$\mathrm{KLMN}$がひし形となるための必要十分条件を$p\text{，}q$の式で表せ．

(ⅲ)　四角形$\mathrm{KLMN}$が正方形となる$p\text{，}q$を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人が以下の規則に従って試合を繰り返し行う．各試合において$2$人が対戦し，残りの$1$人は待機する．対戦ではどちらか一方が勝利し，引き分けはないものとする．

①　第$1$試合では，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦し，$\mathrm{C}$は待機する．

②　第$2$試合では，第$1$試合の勝者と$\mathrm{C}$が対戦し，第$1$試合の敗者は待機する．

③　同様に，第$(n+1)$試合では，第$n$試合の勝者と第$n$試合で待機した者が対戦し，第$n$試合の敗者は待機する．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦したとき$\mathrm{A}$が勝利する確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が対戦したとき$\mathrm{B}$が勝利する確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}\mathrm{C}$と$\mathrm{A}$が対戦したとき$\mathrm{C}$が勝利する確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．第$n$試合において，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が待機する確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$とする．

(1)　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の所定のところに記入せよ．

$a_2=\boxed{\text{ア}}\text{，}{b}_2=\boxed{\text{イ}}\text{，}{c}_2=\boxed{\text{ウ}}$

$c_3=\boxed{\text{エ}}$

$a_{n+1}=\boxed{\text{オ}}{b}_n+\boxed{\text{カ}}{c}_n$

$b_{n+1}=\boxed{\text{キ}}{a}_n+\boxed{\text{ク}}{c}_n$

$c_{n+1}=\boxed{\text{ケ}}{a}_n+\boxed{\text{コ}}{b}_n$

(2)　$b_n-c_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$b_n$を$n$の式で表せ．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　極限

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{4x^2+x}-x}{x+1}}$

を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(2)　$f(x)={\log }_{x}2\text{（}x>1\text{）}$を微分せよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(3)　定積分

${\displaystyle {\int }_e^{e^2}}{\displaystyle \frac{dx}{x\log x}}$

を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(4)　数列$\{a_n\}$の一般項が

$a_n={\left\{\right(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})(1+{\displaystyle \frac{2}{n}})\cdots (1+{\displaystyle \frac{n}{n}}\left)\right\}}^{\frac{1}{n}}$

であるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }\log a_n$を求めよ．

（編注）2022年札幌医科大学　前期【２】で改変して活用

【７】　$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$とおく．ここで，$i$は虚数単位である．

(1)　$\alpha$の絶対値$\left|\alpha \right|$および偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(2)　$\beta =2(\cos {\displaystyle \frac{2}{7}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{2}{7}}\pi )$とおき，$\beta \text{，}\alpha \beta \text{，}{\alpha }^2\beta$に対応する複素数平面上の点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$とする．このとき，$▵{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の面積を求めよ．

(3)　$\gamma =-1+4\alpha$とおき，$\gamma \text{，}{\gamma }^2\text{，}{\gamma }^3$に対応する複素数平面上の点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_3$とする．

(ⅰ)　$\angle {\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_3$を求めよ．

(ⅱ)　$▵{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3$の面積を求めよ．

【８】　$a$を定数とし，

$f(x)=x+a+2\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

$g(x)=x+a-2\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

とおく．$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$で囲まれた部分を$D$とする．

(1)　関数$y=f(x)$および$y=g(x)$の増減，極値，グラフの凹凸を調べよ．さらに，$a=\sqrt{3}$のとき，$D$を図示せよ．

(2)　曲線$y=g(x)$が$x$軸と接しているとき，$a$の値を求めよ．このとき，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

【９】　$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^x}}\text{（}x>0\text{）}$とおく．

(1)　$f(x)$を微分せよ．

(2)　$f(x)$が$x=a$で極値をとるならば，$a<\sqrt{3}$であることを示せ．

(3)　${\sqrt{3}}^{({\sqrt{5}}^{\sqrt{5}})}$と${\sqrt{5}}^{({\sqrt{3}}^{\sqrt{3}})}$の大小を比較せよ．

志望別問題選択一覧

教育（学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系除く），農，工（環境建設工学科社会デザインコース）学部　【１】，【２】，【４】，【５】

教育（学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系）学部　【１】，【３】，【４】，【５】

理，工（環境建設工学科社会デザインコース除く）学部　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

医学部　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】