2017 高知大学 前期MathJax

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2017 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

配点は60点

易□ 並□ 難□

【1】 数列 { an } を初項 1 公差 2 の等差数列とし,数列 { bn } を初項 1 公比 2 の等比数列とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 一般項 a n を求めよ.

(2) 一般項 b n を求めよ.

(3)  Sn = k= 1n ak bk とするとき, Sn n の式で表せ.

(4)  Tn = k= 1n 1 ak ak +1 とするとき, Tn n の式で表せ.

(5)  Un = k= 1n 1bk b k+1 とするとき, Un n の式で表せ.

2017 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【2】 平行四辺形 ABCD において AB =4 AD =5 A= 120 ° とする.辺 AD 上の点 P AP :PD=4 :1 を満たすとし,辺 CD 上の点 Q CQ :QD=3 :1 を満たすとする.また,線分 AQ と線分 BP の交点を R とし,線分 AQ と対角線 BD の交点を S とする. AB =a AD = b とおくとき,次の問いに答えよ.

(1) 内積 a b の値を求めよ.

(2)  AQ a b で表せ.

(3)  AR a b で表せ.

(4)  RS の大きさ | RS | を求めよ.

2017 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

配点70点

易□ 並□ 難□

【3】  a b は正の定数とする.関数 f (x )=a cos2 x+2 2 bsin x について,次の問いに答えよ.

(1)  t=sin x とするとき, f( x) t の式で表せ.

(2)  a= 12 b=1 のとき,関数 y =f (x ) の最大値と最小値を求めよ.

(3)  f( x)< 2 がすべての実数 x について成り立つような点 ( a,b ) の範囲を座標平面上に図示せよ.

2017 高知大学 前期

数学II・数学B 教育学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【4】  f( x)= 2x 2+4 x-1 とする.放物線 C1 y=f (x ) と,放物線 C 1 x 軸方向に 4 y 軸方向に 16 だけ平行移動した放物線 C 2 がある.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 放物線 C 2 の方程式を求めよ.

(2) 放物線 C 1 上の点 P ( t,f (t ) ) における接線の方程式を求めよ.

(3)  2 つの放物線 C1 C 2 の両方に接する直線 l の方程式を求めよ.

(4)  2 つの放物線 C1 C 2 と(3)で求めた直線 l とで囲まれた図形の面積を求めよ.

2017 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B 理学部,医学部医学科

配点は100点

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 C x2 +3 y2= 4 と,その上の点 P ( 1,1 ) を考える.実数 m に対して, P を通る傾き m の直線を l m とし, lm C との交点で, P と異なるものを Qm ( am, bm ) とおく.ただし, lm C と接する場合には, Q m= P と決めることにする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 曲線 C P における接線の方程式を求めよ.

(2)  Qm の座標 ( am, bm ) m を用いて表せ.

(3)  m が有理数のとき, am bm はともに有理数であることを示せ.

(4)  am bm がともに有理数のとき, m は有理数であることを示せ.

2017 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B 理学部,医学部医学科

配点は100点

易□ 並□ 難□

【2】 一般項が an= 4n+ 2n+ 1+ 29 n=1 2 3 で与えられる数列 { an } がある.この数列の第 n a n の値を超えない最大の整数を [ an ] と表す.また, an =an -[ an ] とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  [ a1 ] [ a2 ] および [ a3 ] のそれぞれの値を求めよ.

(2)  n4 を満たすすべての整数 n に対して, [ an] =2n +1 であることを示せ.

(3) 極限値 limn an を求めよ.

(4)  an 18 を満たす 4 以上の整数 n をすべて求めよ.

2017 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B 理学部,医学部医学科

配点は100点

易□ 並□ 難□

【3】  n は正の整数とする. 1 から n までの異なる n 個の整数の順列を考える.以下そのような順列に対して,直前の数よりも小さい数が並ぶ回数を「下降回数」と呼ぶ.例えば, n=4 のとき, 1432 では 4 の次に 3 3 の次に 2 が並んでいるので下降回数は 2 である.同様にして 1234 1324 4321 の下降回数はそれぞれ 0 1 3 である.下降回数が 1 である順列の総数を an 下降回数が 2 である順列の総数を b n とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  a4 を求めよ.

(2)  an= k=0 n( Ck n -1 ) であることを示せ.

(3)  an を求めよ.

(4)  n2 のとき, bn= k=1 n-1 Ck n a n-k - m =1n -1 (m- 1) ( Cm n -1 ) であることを示せ.

2017 高知大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B 理学部,医学部医学科

配点は100点

易□ 並□ 難□

【4】 すべての実数 x に対して f (x )= |sin (π x) | で定義される関数 f (x ) について,次の問いに答えよ.

(1)  y=f (x ) のグラフをかけ.

(2) 定積分 01 e-x f (x) dx を求めよ.

(3) 自然数 n に対し, In = 0n e- xf (x ) dx とおく.このとき,極限値 limn I n を求めよ.

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