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2017-10821-0101
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2017 高知大学 前期
数学II・数学B 教育学部
配点は60点
易□ 並□ 難□
【1】 数列 { an } を初項 1 , 公差 2 の等差数列とし,数列 { bn } を初項 1 , 公比 2 の等比数列とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 一般項 a n を求めよ.
(2) 一般項 b n を求めよ.
(3) Sn = ∑k= 1n ak⁢ bk とするとき, Sn を n の式で表せ.
(4) Tn = ∑k= 1n 1 ak ⁢ak +1 とするとき, Tn を n の式で表せ.
(5) Un = ∑k= 1n 1bk ⁢b k+1 とするとき, Un を n の式で表せ.
2017-10821-0102
配点60点
【2】 平行四辺形 ABCD において AB =4 , AD =5 , ∠ A= 120⁢ ° とする.辺 AD 上の点 P は AP :PD=4 :1 を満たすとし,辺 CD 上の点 Q は CQ :QD=3 :1 を満たすとする.また,線分 AQ と線分 BP の交点を R とし,線分 AQ と対角線 BD の交点を S とする. AB→ =a → , AD →= b→ とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) 内積 a→ ⋅b→ の値を求めよ.
(2) AQ→ を a→ , b→ で表せ.
(3) AR→ を a→ , b→ で表せ.
(4) RS→ の大きさ | RS→ | を求めよ.
2017-10821-0103
配点70点
【3】 a と b は正の定数とする.関数 f ⁡(x )=a ⁢cos⁡2 ⁢x+2 ⁢2 ⁢b⁢sin ⁡x について,次の問いに答えよ.
(1) t=sin ⁡x とするとき, f⁡( x) を t の式で表せ.
(2) a= 12 , b=1 のとき,関数 y =f⁡ (x ) の最大値と最小値を求めよ.
(3) f⁡( x)< 2 がすべての実数 x について成り立つような点 ( a,b ) の範囲を座標平面上に図示せよ.
2017-10821-0104
【4】 f⁡( x)= 2⁢x 2+4 ⁢x-1 とする.放物線 C1: y=f⁡ (x ) と,放物線 C 1 を x 軸方向に 4 , y 軸方向に 16 だけ平行移動した放物線 C 2 がある.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 放物線 C 2 の方程式を求めよ.
(2) 放物線 C 1 上の点 P ( t,f⁡ (t ) ) における接線の方程式を求めよ.
(3) 2 つの放物線 C1 ,C 2 の両方に接する直線 l の方程式を求めよ.
(4) 2 つの放物線 C1 ,C 2 と(3)で求めた直線 l とで囲まれた図形の面積を求めよ.
2017-10821-0105
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B 理学部,医学部医学科
配点は100点
【1】 曲線 C :x2 +3⁢ y2= 4 と,その上の点 P ( 1,1 ) を考える.実数 m に対して, P を通る傾き m の直線を l m とし, lm と C との交点で, P と異なるものを Qm ( am, bm ) とおく.ただし, lm が C と接する場合には, Q m= P と決めることにする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 曲線 C の P における接線の方程式を求めよ.
(2) Qm の座標 ( am, bm ) を m を用いて表せ.
(3) m が有理数のとき, am , bm はともに有理数であることを示せ.
(4) am , bm がともに有理数のとき, m は有理数であることを示せ.
2017-10821-0106
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【2】 一般項が an= 4n+ 2n+ 1+ 29 ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) で与えられる数列 { an } がある.この数列の第 n 項 a n の値を超えない最大の整数を [ an ] と表す.また, 〈 an〉 =an -[ an ] とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) [ a1 ] ,[ a2 ], および [ a3 ] のそれぞれの値を求めよ.
(2) n≧4 を満たすすべての整数 n に対して, [ an] =2n +1 であることを示せ.
(3) 極限値 limn→ ∞〈 an 〉 を求めよ.
(4) 〈 an〉 ≦ 18 を満たす 4 以上の整数 n をすべて求めよ.
2017-10821-0107
【3】 n は正の整数とする. 1 から n までの異なる n 個の整数の順列を考える.以下そのような順列に対して,直前の数よりも小さい数が並ぶ回数を「下降回数」と呼ぶ.例えば, n=4 のとき, 1432 では 4 の次に 3 , 3 の次に 2 が並んでいるので下降回数は 2 である.同様にして 1234 , 1324 ,4321 の下降回数はそれぞれ 0 , 1 , 3 である.下降回数が 1 である順列の総数を an , 下降回数が 2 である順列の総数を b n とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) a4 を求めよ.
(2) an= ∑ k=0 n( Ck n -1 ) であることを示せ.
(3) an を求めよ.
(4) n≧2 のとき, bn= ∑ k=1 n-1 Ck n ⁢a n-k - ∑m =1n -1 (m- 1)⁢ ( Cm n -1 ) であることを示せ.
2017-10821-0108
【4】 すべての実数 x に対して f ⁡(x )= |sin⁡ (π⁢ x) | で定義される関数 f ⁡(x ) について,次の問いに答えよ.
(1) y=f⁡ (x ) のグラフをかけ.
(2) 定積分 ∫ 01 e-x ⁢f⁡ (x) ⁢dx を求めよ.
(3) 自然数 n に対し, In = ∫0n e- x⁢f ⁡(x )⁢ dx とおく.このとき,極限値 limn→ ∞I n を求めよ.