2017　福岡教育大学　前期MathJax

2017-10841-0101

入試の軌跡　数学さんの解答(PDF3頁)へ

2017　福岡教育大学　前期

教育(中等教育数学専修)学部

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(問1)　実数 $x ， y$ は $\log_{2} x + \log_{2} y = 2$ を満たす．

(ア)　 $t = x + y$ とおく． $x^{2} + y^{2}$ を $t$ を用いて表せ．

(イ)　 $x^{2} + y^{2} + x y - 6 x - 6 y + 1$ の最小値とそのときの $x$ と $y$ の値を求めよ．

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易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(問2)　 $23 x + 13 y = 5$ を満たす整数 $x ， y$ の組で $| x | + | y |$ が最小になるものを求めよ．

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【１】　次の問いに答えよ．

(問3)　 $3$ 個のサイコロを同時に $1$ 回投げる．

(ア)　出る目の積が偶数である確率を求めよ．

(イ)　出る目の積が偶数であるとき，その出る目の和が $5$ の倍数である確率を求めよ．

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【２】　 $a$ を定数とし，曲線 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ を $C ，$ 直線 $y = a (x + 1)$ を $l$ とする． $C$ と $l$ が異なる $2$ 点で交わっているとき，次の問いに答えよ．

(問1)　 $a$ のとり得る値の範囲を求めよ．

(問2)　 $C$ と $l$ の $2$ つの交点の $x$ 座標を $α ， β$ とするとき $α + β ， α β$ をそれぞれ $a$ を用いて表せ．

(問3)　 $C$ と $l$ の $2$ つの交点を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ．

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【３】　 $P (x)$ を整式とし，整式 $Q (x)$ を $Q (x) = \int_{1}^{x} P (t) d t$ で定める． $P (x)$ を $x - 1$ で割ったときの余りは $2$ であった．次の問いに答えよ．

(問1)　 $Q^{'} (1)$ の値を求めよ．

(問2)　 $Q (x)$ を ${(x - 1)}^{2}$ で割ったときの余りを求めよ．

(問3)　 $Q (x)$ を $x - 2$ で割ったときの余りは $3$ であった． $Q (x)$ を ${(x - 1)}^{2} (x - 2)$ で割ったときの余りを求めよ．

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【４】　 $a ， b$ を正の定数とし， $f (x) = - x e^{- \frac{x}{a}}$ とする． $y = f (x)$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動し，さらに $x$ 軸方向に $- a$ だけ平行移動して得られる曲線を $y = g (x)$ とし， $h (x) = b g (x)$ とする．また，曲線 $y = f (x)$ の変曲点を $P$ とし，点 $P$ における曲線 $y = f (x)$ の接線を $l$ とする．

　関数 $h (x)$ の最大値が $1$ であるとき，次の問いに答えよ．ただし， $e$ は自然対数の底とする．

(問1)　直線 $l$ の方程式を $a$ を用いて表せ．

(問2)　関数 $g (x)$ を $a$ を用いて表せ．

(問3)　定数 $a ， b$ の積 $a b$ の値を求めよ．

(問4)　直線 $l$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標が $4$ であるとき，曲線 $y = f (x) ， y = h (x)$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

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