2017　九州大学　前期MathJax

【１】　定数$a<1$に対し，放物線$C_1\text{：}y=2x^2+1\text{，}{C}_2\text{：}y=-x^2+a$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$C_1\text{，}{C}_2$の両方に接する$2$つの直線の方程式をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$C_1$と(1)で求めた$2$つの直線で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}{C}_2$と(1)で求めた$2$つの直線で囲まれた図形の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めよ．

【２】　座標平面上に原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}(1,a)\text{，}$点$\mathrm{B}(s,t)$がある．以下の問いに答えよ．

(1)　$a=1$のとき，$▵\mathrm{OAB}$が正三角形となるような$(s,t)$をすべて求めよ．

(2)　$\sqrt{3}$は無理数であることを証明せよ．

(3)　$▵\mathrm{OAB}$が正三角形であり，$a$が有理数であるとき，$s$と$t$のうち少なくとも$1$つは無理数であることを示せ．

【３】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\cdots$の順にさいころを投げ，先に$3$以上の目を出した人を勝者として勝敗を決め，さいころ投げを終える．以下では，さいころを投げた回数とは$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が投げた回数の和のこととする．$2$と$3$の常用対数を${\mathrm{lo}}_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$として，以下の問いに答えよ．

(1)　さいころを投げた回数が$n$回以下では勝敗が決まらない確率$p_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．さらに，$p_n$が$0.005$より小さくなる最小の$n$を求めよ．

(2)　さいころを投げた回数が$3$回以下で$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

(3)　自然数$k$に対し，さいころを投げた回数が$2k+1$回以下で$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2017$と$225$の最大公約数を求めよ．

(2)　$225$との最大公約数が$15$となる$2017$以下の自然数の個数を求めよ．

(3)　$225$との最大公約数が$15$であり，かつ$1998$との最大公約数が$111$となる$2017$以下の自然数をすべて求めよ．

【１】　定数$a>0$に対し，曲線$y=a\tan x$の$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分を$C_1\text{，}$曲線$y=\sin 2x$の$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分を$C_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$が原点以外に交点をもつための$a$の条件を求めよ．

(2)　$a$が(1)の条件を満たすとき，原点以外の$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$のそれぞれの接線が直交するとき，$a$および$\cos 2p$の値を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた値のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$2$つの定数$a>0$および$b>0$に対し，座標空間内の$4$点を

$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}\mathrm{D}(a,b,1)$

と定める．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{CD}$におろした垂線と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{G}$とする．$\mathrm{G}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　さらに，点$\mathrm{B}$から線分$\mathrm{CD}$におろした垂線と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$がなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

【３】　初項$a_1=1\text{，}$公差$4$の等差数列$\{a_n\}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}$の初項から第$600$項のうち，$7$の倍数である項の個数を求めよ．

(2)　$\{a_n\}$の初項から第$600$項のうち，$7^2$の倍数である項の個数を求めよ．

(3)　初項から第$n$項までの積$a_1{a}_2\cdots a_n$が$7^{45}$の倍数となる最小の自然数$n$を求めよ．

【４】　赤玉$2$個，蒼玉$1$個，白玉$1$個が入った袋が置かれた円形のテーブルの周りに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人がこの順番で時計回りに着席している．$3$人のうち，ひとりが袋から玉を$1$個取り出し，色を確認したら袋にもどす操作を考える．$1$回目は$\mathrm{A}$が玉を取り出し，次のルール(a)，(b)，(c)に従って勝者が決まるまで操作を繰り返す．

(a)　赤玉を取り出したら，取り出した人を勝者とする．

(b)　蒼玉を取り出したら，次の回も同じ人が玉を取り出す．

(c)　白玉を取り出したら，取り出した人の左隣りの人が次の回に玉を取り出す．

$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人が$n$回目に玉を取り出す確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とする．ただし，$a_1=1\text{，}{b}_1=c_1=0$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$が$4$回目に勝つ確率と$7$回目に勝つ確率をそれぞれ求めよ．

(2)　$d_n=a_n+b_n+c_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$d_n$を求めよ．

(3)　自然数$n\geqq 3$に対し，$a_{n+1}$を$a_{n-2}$と$n$を用いて表せ．

【５】　$2$つの複素数$\alpha =10000+10000i$と$w={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}i$を用いて，複素数平面上の点${\mathrm{P}}_n(z_n)$を$z_n=\alpha w^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$により定める．ただし，$i$は虚数単位を表す．$2$と$3$の常用対数を${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$として，以下の問いに答えよ．

(1)　$z_n$の絶対値$\left|z_n\right|$と偏角$\arg z_n$を求めよ．

(2)　$\left|z_n\right|\leqq 1$が成り立つ最小の自然数$n$を求めよ．

(3)　右図のように，複素数平面上の$▵\mathrm{ABC}$は線分$\mathrm{AB}$を斜辺とし，点$\mathrm{C}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$を一つの頂点とする直角三角形である．なお$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を表す複素数の虚部は負であり，原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の距離はともに$1$である．点${\mathrm{P}}_n$が$▵\mathrm{ABC}$の内部に含まれる最小の自然数$n$を求めよ．