2017　九州大学　後期MathJax

【１】　座標平面上の曲線$C\text{：}y=\sqrt{x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$を考える．$C$上の異なる$2$点$\mathrm{P}(p,\sqrt{p})\text{，}\mathrm{Q}(q,\sqrt{q})\text{（}p>0\text{，}q>0\text{）}$における，それぞれの法線$l_1\text{，}{l}_2$を考える．法線$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{R}$の座標を$p$と$q$で表せ．

(2)　$q$が$p$に限りなく近くとき，線分$\mathrm{RP}$の長さの極限値を$p$で表せ．

【２】　$1$個のさいころを$4$回投げ，$1$回目に出た目の数を$a\text{，}2$回目に出た目の数を$b\text{，}3$回目に出た目の数を$c\text{，}4$回目に出た目の数を$d$とする．$d$が，$a$と$b$と$c$の最大公約数の倍数となる確率を求めよ．

【３】　座標空間内に点$\mathrm{A}(0,0,2)\text{，}$点$\mathrm{B}(2,0,0)\text{，}$点$\mathrm{C}(0,0,-2)\text{，}$点$\mathrm{D}(0,-2,0)$がある．線分$\mathrm{AC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{AD}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．直線$\mathrm{BC}$と平面$x={\displaystyle \frac{3}{2}}$の交点を$\mathrm{G}$とする．直線$\mathrm{BD}$と平面$\mathrm{EFG}$の交点を$\mathrm{H}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{FGH}$の面積を求めよ．

【４】　$k$を$k\geqq 0\text{，}k\ne 1$を満たす実数として，関数$f(x)$を

$f(x)={\{1-(1-k)x\}}^{\frac{1}{1-k}}$

で定める．ただし，関数$f(x)$の定義域は，$0\leqq k<1$のとき$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{1-k}}$であり，$k>1$のとき$x\geqq 0$である．以下の問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$k=0$のとき，$0<k<1$のとき，$1<k$のときのそれぞれの場合について，関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸，座標軸との交点を調べてグラフをかけ．

(3)　$x\geqq 0$であるとき，

$\underset{k\to 1+0}{\lim }{\{1-(1-k)x\}}^{\frac{1}{1-k}}$

を求めよ．ここで，自然対数の底$e$が$e=\underset{h\to 0}{\lim }{(1+h)}^{\frac{1}{h}}$を満たすことを用いてよい．

【５】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}{a}_2=1\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(1)　$2$以上の自然数$n$に対して，$a_{n+2}>2a_n$が成り立つことを示せ．

(2)　$2$以上の自然数$m$は，数列$\{a_n\}$の互いに異なる$k$個（$k\geqq 2$）の項の和で表されることを，数学的帰納法によって示せ．

(3)　(2)における項の個数$k$は，$k<2{\log }_{2}m+2$を満たすことを示せ．