2017　九州工業大学　後期MathJax

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるときの$t$の値を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にあるときの$t$の値の範囲を求めよ．

(ⅲ)　$s=t^2-3t+3$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$s$を用いて表せ．

(ⅳ)　$t$が(ⅱ)で求めた範囲を動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PH}}\right|$の最大値および最小値を求めよ．

$a_1=1\text{，}{a}_2=2\text{，}{a}_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．次に答えよ．

(ⅰ)　$b_n=a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅲ)　自然数$m$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^m}\{{(a_{k+1})}^2-a_k{a}_{n+2}\}$を求めよ．

(ⅰ)　$\cos \angle \mathrm{ACB}$を$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　${(\sin \angle \mathrm{ACB})}^2$を$t$の関数と考え，その関数を$f(t)$とおく．$f(t)$の極値を求めよ．

(ⅲ)　$t$が$0\leqq t\leqq 3$の範囲で変化する．

(a)　$r$の最大値$r_1$を求めよ．また，$r$が最大になるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(b)　$r$の最小値$r_2$を求めよ．また，$r$が最小になるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　$p>0\text{，}q$を定数とする．

${\displaystyle \int }\log (px+q)dx=-x+{\displaystyle \frac{1}{p}}(px+q)\log (px+q)+C$（$C$は積分定数）

および

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\log (px+q)}{px+q}}dx={\displaystyle \frac{1}{2p}}{\{\log (px+q)\}}^2+C$（$C$は積分定数）

を示せ．

(ⅱ)　曲線$C_1$と直線$y=\log 2$との交点の座標を求めよ．

(ⅲ)　曲線$C_1$と直線$y=\log 2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(ⅳ)　(ⅱ)で求めた交点の中で，$x$座標が最も小さい交点を$\mathrm{P}$とする．曲線$C_2$が点$\mathrm{P}$を通るとき，$a$の値を求めよ．

(ⅴ)　$x_0$を(ⅳ)で定めた点$\mathrm{P}$の$x$座標，$a$を(ⅳ)で求めた値とする．曲線$C_2\text{，}$直線$x=x_0$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．