2017　佐賀大学　前期MathJax

【１】　平面上に三角形$\mathrm{OAB}$があり，点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$は$\overrightarrow{{\mathrm{OA}}^{\prime }}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{OB}}^{\prime }}=3\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たしているとする．線分${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}}$を求めよ．

(3)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{5}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{3}$であり，さらに$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が直交しているとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積および三角形$\mathrm{PAB}$の面積を求めよ．

【２】　正の定数$a$に対して，$3$点$\mathrm{A}(0,a)\text{，}\mathrm{B}(a,0)\text{，}\mathrm{C}(a,a)$をとる．

　線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}(t,0)$と線分$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$において，

$\angle \mathrm{APQ}=90\mathrm{°}$

が成り立つとき，次の問に答えよ．ただし，$0<t<a$とする．

(1)　三角形$\mathrm{PBQ}$の面積$S$を$a$と$t$を用いて表せ．

(2)　$S$の最大値とそのときの$t$の値を$a$を用いて表せ．

【３】　数直線上で，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を出発点とし，コインを投げて表が出れば正の向きに$1$だけ進み，裏が出れば負の向きに$1$だけ進むものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　コインを$7$回投げ終えたとき，点$\mathrm{P}$の位置が$1$となる確率を求めよ．

(2)　コインを$6$回投げ終えたときまでに点$\mathrm{P}$がちょうど$2$回正の位置にあり，$7$回投げ終えたときに点$\mathrm{P}$の位置が$1$となる確率を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{{(\log ax)}^3}{x}}\text{（}x>0\text{）}$に対して，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が$x=b$で極大値${\displaystyle \frac{54}{e^3}}$をとるとき，$a$および$b$を求めよ．

(2)　(1)の$a$に対して，不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(3)　(1)の$a\text{，}b$に対して，曲線$y=f(x)\text{（}0<x\leqq b\text{），}$直線$x=b$および$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{\sin x}{e^x}}$について，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{e^x}}$の導関数および${\displaystyle \frac{\sin x}{e^x}}$の不定積分を求めよ．

(2)　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，曲線$C$の$2n\pi \leqq x\leqq (2n+1)\pi$の部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$a_n$とする．$S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{a}_k$と定めるとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(3)　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，曲線$C$の$0\leqq x\leqq n\pi$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_n$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n$を求めよ．

【４】　複素数$\alpha \text{，}\beta$が

$\left|\alpha \right|=1\text{，}\left|\beta \right|=\sqrt{2}\text{，}|\alpha -\beta |=1$

を満たし，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の虚部は正であるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$および${\left({\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}\right)}^8$を求めよ．

(2)　$|\alpha +\beta |$を求めよ．

(3)　$n$が$8$で割ると$1$余る整数のとき，$|{\alpha }^n+{\beta }^n|$を$n$を用いて表せ．

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{\log x}{2}}\right)\text{（}x\geqq 1\text{）}$

に対して，次の問に答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)=0$を満たすような$x$のうち，最小のものを求めよ．

(2)　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}$はただ$1$つの解をもつことを示せ．

(3)　$t\geqq 1$のとき，定積分${\displaystyle {\int }_1^t}f(x)dx$を$t$を用いて表せ．

【４】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円$C_1$に，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円$C_2$が点$\mathrm{A}(a,b)$で内接しているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　円$C_2$の方程式を求めよ．

(2)　円$C_1$上に点$\mathrm{B}(c,d)$をとる．ただし，$ac+bd\ne 0$とする．直線$\mathrm{OB}$と円$C_2$との交点うち，原点$\mathrm{O}$以外のものを$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{Q}$を(2)のものとし，$\mathrm{A}\ne \mathrm{B}$とする．$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$とおくとき，$\angle \mathrm{APQ}$および線分$\mathrm{OQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．