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2017 大分大学 前期

教育,経済,理工学部

経済学部は【4】,理工学部は【3】

易□ 並□ 難□

【1】  a1 =3 k =1n +1 ak =4 an+1 n=1 2 3 で定められる数列 { an } がある.

(1)  n 2 以上の自然数とするとき, an+ 1 an a n-1 で表しなさい.

(2)  an+ 1-2 an n の式で表しなさい.

(3)  an n の式で表しなさい.

2017 大分大学 前期

教育,経済,理工学部

経済,理工学部は【1】

易□ 並□ 難□

【2】  1 辺の長さが 1 の正四面体 PABC において,辺 PA BC PB AC の中点をそれぞれ K L M N とする.線分 KL MN の中点をそれぞれ Q R とし, ABC の重心を G とする.また, PA =a PB =b PC =c とおく.

(1)  PQ PR a b c を用いて表し,点 Q R が一致することを示しなさい.

(2)  3 P Q G が同一直線上にあることを示しなさい.また, PQ:QG を求めなさい.

(3)  PGAB を示しなさい.

2017 大分大学 前期

教育,経済学部

経済学部は【2】

易□ 並□ 難□

【3】  0t 1 とし,関数 f (x )= x2-4 | x-1 | に対して,

S( t)= t2 tf (x )d x

とする.

(1)  y=f (x ) のグラフをかきなさい.

(2)  S( t) を求めなさい.

(3)  S( t) の最大値と最小値を求めなさい.

2017 大分大学 前期

経済学部

易□ 並□ 難□

【3】  ABC において, AB=5 AC=3 とし A の二等分線と辺 BC との交点を P とする.頂点 C から直線 AP に下ろした垂線と,直線 AP AB との交点をそれぞれ D E とする.

(1) 線分 BE の長さを求めなさい.

(2) 辺 BC の中点を M とするとき,線分 MD の長さを求めなさい.

(3)  AD:DP を求めなさい.

2017 大分大学 前期

理工学部

易□ 並□ 難□

【2】  a b 1 より大きい定数とし, loga b x+log ab y= 2 とする.

(1)  xy a b の式で表しなさい.

(2)  ax+ by の最小値を a b の式で表しなさい.

(3)  ( ax- 1) 2+ (b y-1) 2 の最小値を a b の式で表しなさい.

2017 大分大学 前期

理工学部

易□ 並□ 難□

【4】  f( x)= 2-e -x2 2 とする.

(1) 関数 y =f( x) の増減,グラフの凹凸を調べ,極値,変曲点を求めなさい.また,そのグラフをかきなさい.

(2)  k を定数とする.方程式 f (x )=k の異なる実数解の個数を求めなさい.

(3) すべての実数 x に対して,不等式 f (x ) 1+ 12 x 2 が成り立つことを示しなさい.

2017 大分大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】 同じ大きさと重さの白石と黒石がそれぞれ m 個と n 個ある.これらの石から k 個を無作為に抽出し,その中の白石の数を X とする.ただし m n k は自然数で 1 k<m 1k <n である.以下の問いに答えなさい.

(1) 整数 i に対して X =i の確率 p (i ,k| m,n ) を求めなさい.ただし,組合せの記号 Cr q を用いて結果を表現しなさい.

(2)  m=4 n=6 k=3 のときの X の期待値を求めなさい.

(3) 一般の m n k に対して X の期待値を求めなさい.

2017 大分大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【2】 複素数 z =1-3 i について以下の問いに答えなさい.ただし, i は虚数単位とする.

(1)  z=1 -3 i を解とする実数係数の 2 次方程式を作りなさい.

(2)  zn n= 1 2 を求めなさい.

(3) 自然数 m に対して k=1 3m (-2 )- k xk を求めなさい.

2017 大分大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【3】 放物線 y =-x2 y =x2 -2x のそれぞれの上を動く点を P Q とする.現在時刻 t =0 P= (0, 0) Q =(1 ,-1 ) にあり,それぞれの放物線上を速さ 1 P x 座標が増加する方向に, Q x 座標が減少する方向に動く.以下の問いに答えなさい.

(1) 点 P= (x, -x2 ) とするとき, Q の座標を求めなさい.

(2) 動点 P Q の距離の 2 乗の最小値とそのときの P の座標を求めなさい.

(3) 関数 g (x )= 12 log (x+ x2 +1) +1 2 x x2 +1 x で微分しなさい.

(4) 動点 P Q の距離の 2 乗が最小となる時刻 t を求めなさい.ただし,(2)の P x 座標を a として,求める時刻を表現してもよい.

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