2017　宮崎大学　前期MathJax

【１】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,2)$をとる．$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．球面$x^2+y^2+z^2=1$を$S$とし，$\mathrm{O}$から$\mathrm{H}$にのばした半直線と球面$S$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を成分で表せ．

(2)　$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$の座標および線分$\mathrm{HP}$の長さを求めよ．

【２】　表と裏の区別があるカード$6$枚が袋に入っている．

そのうちの$3$枚には表に$1\text{，}$裏に$0$が書かれ，

その$3$枚以外の$2$枚には表に$-1\text{，}$裏に$0$が書かれ，

残り$1$枚には表に$0\text{，}$裏に$1$が書かれている．

　この袋から無作為に$1$枚取り出して書かれている数字を見てから袋にもどす操作を$4$回繰り返す．取り出した$4$回それぞれのカードの，表に書かれた数の和を$X\text{，}$カードの裏に書かれた数の和を$Y$とする．ただし，袋からカードを取り出すとき，どのカードも同じ確率で取り出されるものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$X+Y=4$である確率を求めよ．

(2)　$X+Y$の値が奇数である確率を求めよ．

(3)　$X+Y\leqq 2$である確率を求めよ．

【３】　座標平面上に$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}{C}_2\text{：}y=4{(x-1)}^2$がある．$t\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$を満たす実数$t$に対し，座標平面上において次の$2$つの条件を満たす部分の面積を$S(t)$とする．

(a)　$t\leqq x\leqq t+1$

(b)　$x^2\leqq y\leqq 4{(x-1)}^2$または$4{(x-1)}^2\leqq y\leqq x^2$

　このとき，次の各問に答えよ．

(1)　放物線$C_1\text{，}{C}_2$の交点の$x$座標$\alpha \text{，}\beta$（ただし，$\alpha <\beta$）を求めよ．

(2)　$t\leqq -{\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$S(t)$を，$t$を用いて表せ．さらに，関数$S(t)$は$t\leqq -{\displaystyle \frac{1}{3}}$において減少することを示せ．

(3)　$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$S(t)$を，$t$を用いて表せ．さらに，関数$S(t)(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}})$が最小となる$t$の値を求めよ．

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}}$について，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．

　極限値$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)$は$\boxed{\text{ア}}$である．$f(x)$の導関数は$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{{(1+x^2)}^2}}$であり，第$2$次導関数は$f^{″}(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{{(1+x^2)}^2}}$である．曲線$C$には変曲点が$2$つあり，$2$つの変曲点のうち$x$座標の値が大きい方の変曲点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{エ}},\boxed{\text{オ}})$である．また，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線の方程式を$y=ax+b$（$a\text{，}b$は定数）とすると，$a$の値は$\boxed{\text{カ}}\text{，}b$の値は$\boxed{\text{キ}}$である．

(2)　関数$f(x)$の増減，極値，曲線$C$の凹凸，および変曲点を調べて，曲線$C$の概形をかけ．

(3)　曲線$C$と$x$軸および直線$x=1$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq x^2-2x+1\\ y\leqq -x^2+4x+1\end{array}$

の表す領域を$D$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$D$を座標平面上に図示せよ．

(2)　$a$を実数とする．点$(x,y)$が$D$を動くとき，$-ax+y$の最大値を$f(a)$とする．$f(a)$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$f(a)$に対し，関数$b=f(a)$のグラフをかけ．

【４】　整式$P(x)=x^4+2x^3-2x-1$について，次の各問に答えよ．

(1)　$P(x)$を因数分解せよ．さらに，$x>1$のとき，$P(x)>0$であることを示せ．

(2)　自然数$m$に対し，$m{(m+1)}^3$は偶数であることを証明せよ．

(3)　次の条件(＊)を満たす自然数$k$の中で，最も大きいものを求めよ．

(＊)　$3$以上のすべての奇数$x$について，$P(x)$は$k$の倍数である．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　関数$f(x)=x{e}^{-x^2}$の導関数は，$f^{\prime }(x)=e^{-x^2}(\boxed{\text{あ}})$である．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(2)　関数$f(x)=\sqrt{1+{\sin }^{2}x}$の導関数は，$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{い}}}{\sqrt{1+{\sin }^{2}x}}}$である．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$の不定積分は，${\displaystyle \int }f(x)=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{う}}}{x}}+C$である．ただし，$C$は積分定数とする．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^2}x\sqrt{2-x}dx$の値は$\boxed{\text{え}}$である．

【１】　次の空欄を適切な数または数式で埋めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^2(3x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})dx$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{お}}}{12}}$である．

【４】　次の各問に答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　等式$z^2=i$を満たす複素数$z$は$2$つある．それらを$x+yi$（$x\text{，}y$は実数）の形で表せ．

(2)　等式$w^2-2iw=1+i$を満たす複素数$w$は$2$つあり，それらを$\alpha \text{，}\beta$とする．ただし，$\alpha$の実部は$\beta$の実部より大きいとする．$\alpha \text{，}\beta$を$x+yi$（$x\text{，}y$は実数）の形で表せ．

(3)　複素数平面上で，原点を$\mathrm{O}$とし，(2)で求めた$\alpha \text{，}\beta$が表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を，$a_n=86n+3\text{，}{b}_n=65n+4\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義する．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　次の$\text{①}\text{〜}\text{③}$を満たす$0$または正の整数$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

$\begin{array}{lll}86& =65\times 1+a& \cdots \text{①}\\ 65& =a\times 3+b& \cdots \text{②}\\ a& =b\times 10+c& \cdots \text{③}\end{array}$

(2)　$a_k=b_l$を満たす自然数$k\text{，}l$の組のうち，$1$組を求めよ．

(3)　$a_k=b_l$を満たす自然数$k\text{，}l$の組は無数にあり，それらを

$(k,l)=(k_1,l_1)\text{，}(k_2,l_2)\text{，}(k_3,l_3)\text{，}\cdots$

とする．ただし，$k_1<k_2<k_3<\cdots$とする．数列$\{c_n\}$を$c_n=a_{k_n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義するとき，$c_n\geqq {10}^5$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

【２】　座標平面において，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を自然数とし，連立不等式

$\{\begin{array}{l}x\geqq y^2\\ x+y\leqq n(n+1)\end{array}$

の表す領域を$D_n$とする．また，$D_n$に含まれる格子点の個数を$a_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　領域$D_2$を座標平面上に図示し，$a_2$を求めよ．

(2)　直線$x+y=n(n+1)$上にあり，$D_n$に含まれる格子点の個数を求めよ．

(3)　$a_{n+1}-a_n$を，$n$を用いて表せ．

(4)　$a_n$を，$n$を用いて表せ．

【４】　媒介変数$t$を用いて

$x={\cos }^{3}t\text{，}y={\sin }^{3}t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

で表される曲線を$C$とする．$C$の概形は右図のようになる．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　曲線$C$上の点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{8}})$における$C$の法線の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$の長さを求めよ．

(3)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【５】　最大$2$回のじゃんけんから成るゲームを，次のルール$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$に従って$n$人（$n\geqq 3$）で行う．

$\mathrm{A}$　$n$人で$1$回目のじゃんけんをして$1$人の勝者が決まったら，$2$回目のじゃんけんは行わず，そこでゲームを終了する．

$\mathrm{B}$　$n$人で$1$回目のじゃんけんをして$2$人以上$n-1$人以下の勝者が決まったら，勝ち残った者だけで$2$回目のじゃんけんをし，ゲームを終了する．

$\mathrm{C}$　$n$人で$1$回目のじゃんけんをして誰も勝たなかったら，全員で$2$回目のじゃんけんをし，ゲームを終了する．

　$n$人で$1$回目のじゃんけんをして$k$人（$1\leqq k\leqq n-1$）が勝つ確率を$P_k$とする．ただし，各人はじゃんけんでグー，チョキ，パーをどれも確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で出すものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$P_1$を求めよ．

(2)　$2\leqq k\leqq n-1$のとき，$P_k$を求めよ．

(3)　$1$回目のじゃんけんで誰も勝たない確率を求めよ．

(4)　$1$人の勝者が決まってゲームが終了する確率を求めよ．