2017　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=|x-1|-2$について，次の各問いに答えよ．

(a)　$y=f(x)$のグラフを描け．

(b)　$|f(x)|>1$となる$x$の範囲を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　実数$\alpha$は$\sqrt{2}<\alpha$を満たすとする．$\sqrt{2}<{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}+{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}<\alpha$を示せ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)=2x^2-3{\displaystyle {\int }_{-1}^0}xf(t)dt-{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$

【２-１】　関数$y=\cos 2\theta -a\sin \theta +2\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)　$t=\sin \theta$とするとき，$y$を$t$を用いて表せ．

(2)　$y$の最大値$M$と最小値$m$を，それぞれ$a$を用いて表せ．また，そのときの$t$の値も求めよ．

【２-２】　曲線$y=e^{-2x}$を考える．この曲線上の点$(t,e^{-2t})$における接線$l$が点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$を通るとき，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$t$の値と接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$y=e^{-2x}$と接線，$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３-１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$がある．

$\begin{array}{ll}{a}_1=2\text{，}{b}_1=1\text{，}& \\ a_{n+1}=2a_n+3b_n-2& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ b_{n+1}=a_n+4b_n+2& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

　次の各問いに答えよ．

(1)　$c_n=a_n-b_n$によって定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$d_n=a_n+3b_n$によって定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３-２】　一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$において，線分$\mathrm{BF}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{OF}$と平面$\mathrm{PQG}$の交点を$\mathrm{R}$とする．次の各問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=s\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を満たす実数$s$を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{PQG}$の重心を$\mathrm{S}$とするとき，線分$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．

【３-３】　$n$は自然数とする．$1$枚のコイン投げを$2n$回行う．この$2n$回のコイン投げで，表が出る合計回数を$X$とする．ただし，コインの表と裏の出る確率は等しいとする．次の各問いに答えよ．

(1)　$X$の期待値と標準偏差をそれぞれ求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}}$を求めよ．ただし，$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}2n-1$とする．

(3)　$P(X=k)$を最大にする$k$の値を求めよ．

(4)　$n=200$とする．試行回数が大きいとき，$X$の確率分布は正規分布で近似できることが知られており，試行回数$400$はこのような近似が成り立つのに十分大きいとみなせる．このことを利用して，$X$の値が

$190\leqq X\leqq 210$

となる確率の近似値を求めよ．ただし，標準正規分布に従う確率変数$Z$に対する$P(Z>1)$の近似値としては$0.159$を用いよ．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，$C_1$を曲線${\displaystyle \frac{x^2}{3^2}}+y^2=1\text{，}{C}_2$を直線$y=2$とする．点$\mathrm{P}$は第$1$象限にある$C_1$上のある点とし，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$l\text{，}$この接線$l$と$C_2$との交点を$\mathrm{Q}$とおく．次の各問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$\mathrm{P}(3\cos \theta ,\sin \theta )$と表すとき，接線$l$の方程式，および点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて求めよ．

(2)　$▵\mathrm{POQ}$の面積を最小にする点$\mathrm{P}$の座標，および接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　(2)のとき，曲線$C_1$で囲まれた図形と$▵\mathrm{OPQ}$との共通部分の面積を求めよ．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする複素数平面において，$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が，時計の針の回転と逆の向きに正方形をなすとする．複素数$z\text{，}w$を表す点$\mathrm{P}(z)\text{，}\mathrm{Q}(w)$が，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれかに一致しているとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$z\text{，}w$が条件$0<\arg \left({\displaystyle \frac{w}{z}}\right)\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．このとき，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれに一致しうるか，条件を満たす$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の組をすべて求めよ．

(2)　$z\text{，}w$が(1)の条件に加え，さらに$w=z^2$を満たすとする．このとき，(1)で求めた$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$のそれぞれの組に対して，複素数$z$の値を求め，対応する正方形$\mathrm{OABC}$を複素数平面上に図示せよ．