2017　琉球大学　前期MathJax

【１】　$0\leqq a\leqq 1$とし，$f(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x(a-x)|dx$とする．次の問いに答えよ．

問１　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}x(1-x)dx$を求めよ．

問２　$f(a)$を$a$の関数として表せ．

問３　$f(a)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を正の実数とする．座標空間における$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．次の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$の内積を求めよ．

問２　$\cos \angle \mathrm{ACB}$と$\sin \angle \mathrm{ACB}$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

問３　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$a\text{，}b$を用いて表せ．

問４　四面体$\mathrm{OABC}$の体積が$1$であるとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最小値とそのときの$a$と$b$の値を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

問１　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}(1-{\displaystyle \frac{1}{x}})dx$を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

問２　$t>0$とする．座標平面上の点$\mathrm{P}(\sqrt{t},\log t)$と直線$y=x$との距離が最小になる$t$の値とそのときの距離を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

問１　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，方程式$2\sin \theta =\sin 3\theta$を満たす$\theta$の値を求めよ．

問２　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\sin 3\theta -2\sin \theta |d\theta$を求めよ．

【３】　$z$を複素数とする．$z+{\displaystyle \frac{3}{z}}$が実数であり，$3\leqq z+{\displaystyle \frac{3}{z}}\leqq 4$となる$z$の動く範囲を複素数平面上に図示せよ．

【４】　袋の中に赤玉$4$個と白玉$6$個が入っている．$\mathrm{A}$が玉を$2$個取り出し，取り出した玉の色を確認して，もし$2$個とも赤玉なら赤玉$1$個を，それ以外の場合は白玉$1$個を袋に戻し，次に$\mathrm{B}$がその袋から玉を$2$個取り出す．次の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{A}$が白玉$2$個を取り出し，かつ$\mathrm{B}$が赤玉$2$個を取り出す確率を求めよ．

問２　$\mathrm{B}$が赤玉$2$個を取り出す確率を求めよ．

問３　$\mathrm{B}$が取り出した玉が赤玉$2$個であったとき，$\mathrm{A}$が取り出した玉が白玉$2$個である条件付き確率を求めよ．