2017　琉球大学　後期理学部MathJax

【１】　関数$f(x)$は等式

$f^{\prime }(x)=\sin x+{\displaystyle {\int }_{-x}^x}f(t)dt$

を満たす．次の問いに答えよ．

問１　${\displaystyle {\int }_{-x}^x}f(t)dt=A\text{，}f(0)=c$とする．$f(x)$を$A$と$c$を用いて表せ．

問２　$f(0)=0$のとき，$f(x)$を求めよ．

【２】　$A\text{，}B\text{，}C$を$x$の整式とする．次の問いに答えよ．

問１　$A$を$B$で割った商を$Q\text{，}$余りを$R$とする．このとき，$C$が$A$と$B$の共通因数であるための必要十分条件は，$C$が$B$と$R$の共通因数であることを示せ．

問２　次の整式$A$と整式$B$の共通因数のうち次数が最大のものを求めよ．

$A=x^4+9x^3+6x^2-36x+216$

$B=x^3+4x^2-15x+42$

【３】　複素数$z$は$\left|z\right|=1$を満たすとする．次の問いに答えよ．

問１　$z$の実部を$x$とする．$z^2+\overline{z^2}$を$x$を用いて表せ．ただし，$\bar{z}$は$z$と共役な複素数とする．

問２　${|{\displaystyle \frac{z}{2}}+2\bar{z}-2|}^2$の最大値と最小値を求めよ．

問３　次の等式を証明せよ．

$|{\displaystyle \frac{z}{2}}+2\bar{z}+2|+|{\displaystyle \frac{z}{2}}+2\bar{z}-2|=5$

【４】　$1$個のさいころを投げて$3$以上の目が出たら$5$点，$2$以下の目が出たら$2$点得られるゲームを行う．次の問いに答えよ．

問１　さいころを$2$回投げて，合計点が$7$点になる確率を求めよ．

問２　さいころを$3$回投げて，合計点が偶数になる確率を求めよ．

問３　さいころを$n$回投げて，合計点が偶数になる確率を求めよ．