2017　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　座標空間において，$xy$平面上に原点を中心とする半径$1$の円に内接する正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．六角錐$\mathrm{P}‐\mathrm{ABCDEF}$において，頂点$\mathrm{P}$の座標を$\mathrm{P}(0,0,a)\text{（}a>0\text{）}$とする．$\angle \mathrm{APB}=45\mathrm{°}$であるとき，$a$の値と，六角錐$\mathrm{P}‐\mathrm{ABCDEF}$の体積をそれぞれ求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{2k-1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とする．

(ⅰ)　不等式${\displaystyle {\int }_1^{2n+2}}{\displaystyle \frac{1}{x}}dx<2a_n$が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{\log n}}$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　$5$進法で表された$2$つの数${123}_{(5)}$と${24}_{(5)}$の積を$5$進法で表せ．

【２】　$i$を虚数単位とし，$\alpha$と$\beta$を複素数で$\alpha \ne 0\text{，}\beta =1+ti\text{（}t>0\text{）}$とする．このとき，数列$\{z_n\}$を次で定義する．

$z_1=\alpha \text{，}$

$z_{n+1}=\beta z_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

以下の各問に答えよ．

(1)　複素数平面において原点を$\mathrm{O}$とし，$z_n$を表す点を${\mathrm{P}}_n$とする．三角形${\mathrm{OP}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の面積を$\alpha \text{，}t\text{，}n$を用いて表せ．

$\alpha =-1+\sqrt{3}i\text{，}t=\tan {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$とする．$z_n$が正の実数となる番号$n$を小さいほうから順に$m_1\text{，}{m}_2\text{，}{m}_3\text{，}\cdots$とする．

(2)　$n=m_1$のとき$z_n$がどのくらいの大きさなのかを調べたい．$n=m_1$のとき$|z_n-{10}^p|$の値が最小となる自然数$p$を求めよ．

(3)　数列$\{m_k\}$の一般項を$k$を用いて表せ．

【３】　$3\mathrm{g}$のおもり$1$個が片方の皿にのっているてんびんと，無数に用意された$1\mathrm{g}\text{，}2\mathrm{g}\text{，}3\mathrm{g}$のおもりがある．以下の$2$つのルールに基づいて，てんびんの皿におもりを$1$個ずつのせる試行を行う．

1.　てんびんがつり合っていないときには，総重量が軽い方の皿に $1\mathrm{g}\text{，}2\mathrm{g}\text{，}3\mathrm{g}$のおもりを無作為に$1$個選んでのせる．それぞれのおもりが選ばれる確率は$0<a<1$として${\displaystyle \frac{a}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{a}{2}}\text{，}1-a$である．

2.　てんびんがつり合った時点で試行をやめる．

$n$回目の試行の結果，てんびんがつり合っていない確率を$p_n\text{，}$てんびんがつり合って試行が終了する確率を$q_n$とするとき，以下の各問に答えよ．

(1)　$p_1$と$p_2$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$p_n$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．

(3)　$q_n$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．

(4)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}n{q}_n$を求めよ．

【４】　$x>0$に対して，連続関数$f(x)$は，等式

$f(x)=2\log x-{\displaystyle {\int }_1^e}tf(t)dt$

をみたすものとする．また，曲線$y=f(x)$の接線のうち，原点を通るものを$l$とし接点を$(u,v)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　接点$(u,v)$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)\text{，}$直線$l$および$x$軸で囲まれる領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．