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2017-11031-0101
2017 公立はこだて未来大学 前期
必須問題
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 正の実数 x に関する 2 つの条件
p: 2⁢log 12 ⁡(x +3) >log1 2⁡ (5⁢ x+3) -1
q: x2= 9-| 9-x2 |
について,以下の問いに答えよ.
問1 条件 p ,q をみたす x の範囲をそれぞれ求めよ.
問2 命題 p ⟹ q の真偽を調べよ.
問3 命題 p‾ ⟹ q‾ の真偽を調べよ.
2017-11031-0102
【2】 座標平面上の三角形 OAB を考える. OA→ =a→ , OB→ =b→ とし, ∠AOB= π 3 , OBOA = 34 とする.点 B から辺 OA に垂線を下ろしてその交点を C とし,点 A から辺 OB に垂線を下ろしてその交点を D とする.以下の問いに答えよ.
問1 OC→ を a → を用いて表せ.
問2 OD → を b → を用いて表せ.
問3 AD と BC の交点を点 P とするとき, OP→ を a→ , b→ を用いて表せ.
2017-11031-0103
【3】 関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= ∫ |x |1 -|x -1| ( |t |-1 )⁢d x
とするとき,以下の問いに答えよ.
問1 y=1- |x- 1| のグラフを描け.
問2 f⁡( -2 ) および f ⁡(2 ) の値をそれぞれ求めよ.
問3 f⁡( x) の最大値を求めよ.
2017-11031-0104
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数学I・数学II・数学A・数学B 選択問題
【1】 m を正の整数とする. 2 つの整数 a , b について, a を m で割った余りと b を m で割った余りが等しいとき, a と b は m を法として合同であるといい a ≡b( modm) と表す. p を素数, n を正の整数として,以下の問いに答えよ.
問1 k は p より小さな正の整数とする. Ck p ⁢ k! を p で割った余りを求めよ.また, Ck p を p で割った余りを求めよ.
問2 (n +1) p≡ np+ 1( mod⁡p ) であることを示せ.ここで,二項定理
( a+b) k= ∑ l=0 k Cl k ⁢ al⁢ bk-l
を証明なしに用いてよい.ただし, a ,b は実数である.
問3 np ≡n( mod⁡p ) を数学的帰納法により証明せよ.
問4 20202017 を 2017 で割った余りを求めよ.ただし, 2017 は素数である.
2017-11031-0105
【2】 θ= π5 とするとき,座標平面上の点 Pn ( xn, yn ) ( n=0 ,1 , 2 ,⋯ , 10 ) を次の式で与える.
{ xn= (1+ 15⁢ (- 1)n )⁢cos⁡ n⁢θ yn= (1+ 15⁢ ( -1) n)⁢sin⁡ n⁢θ
以下の問いに答えよ.
問1 点 P0 , P 1 ,⋯ , P10 の順序で各点を線分で結んで描かれる図形の概形を,解答用紙に与えた座標平面上に描け.ただし,各点の座標は記入しなくてよい.また,座標平面上に点線で描かれた図形は,単位円に内接する正 10 角形であり,その頂点の 1 つの座標は ( 1,0 ) である.
問2 5⁢θ =π を用いて, sin⁡3 ⁢θ=sin ⁡2⁢ θ が成り立つことを示せ.
問3 問2で示した等式を用いて, cos⁡θ の値を求めよ.
問4 線分 P0 P1 , 線分 P1 P2 , ⋯ , 線分 P9 P10 の長さの総和を 4 ⁢a+b ⁢c と表すとき,整数 a , b ,c の値を求めよ.
2017-11031-0106
数学III 選択問題
【1】 座標平面上で, 0≦x ≦ π2 において定義された 2 つの曲線 y =cos⁡x , y=sin ⁡ x2 と x 軸で囲まれた図形を D とする.以下の問いに答えよ.
問1 図形 D を座標平面上に図示せよ.
問2 図形 D の面積 S を求めよ.
問3 図形 D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ.
2017-11031-0107
【2】 以下の問いに答えよ.
問1 x≧1 のとき, log⁡x ≦2⁢ x を示せ.
問2 limx →∞ log⁡x x= 0 を示せ.
問3 y= log⁡x x のグラフを描け.
問4 eπ と π e はどちらが大きいか,理由と共に答えよ.