2017　岩手県立大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,4)\text{，}\mathrm{B}(-1,1)\text{，}\mathrm{C}(2,-2)$について，以下の問いに答えなさい．

[問１]　点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{C}$を通る直線に関して，点$\mathrm{B}$と対称な点の座標を答えなさい．

[問２]　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る円の方程式を$x$と$y$を用いて表しなさい．

[問３]　点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$を通る直線上に点$\mathrm{D}$がある．$▵\mathrm{ABD}$の面積が$▵\mathrm{ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{2}}$となる点$\mathrm{D}$の座標をすべて答えなさい．

[問４]　点$\mathrm{P}(1,-1)$を通り，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$2$等分する直線の方程式を$x$と$y$を用いて表しなさい．

【２】　関数$y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x+2\sqrt{3}\sin x+2\cos x$について，以下の問いに答えなさい．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

[問１]　$\sqrt{3}\sin x+\cos x=t$とおくとき，次の問いに答えなさい．

(a)　$t$の値の範囲を答えなさい．

(b)　$x$を用いずに$t$を用いて$y$を表しなさい．

[問２]　$y$の最小値および最大値を，そのときの$x$の値とともに，それぞれ答えなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　$n$は整数である．このとき，以下をそれぞれ証明しなさい．

(a)　$n^2-n$は$2$の倍数である．

(b)　$n^5-n$は$5$の倍数である．

【３】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　次の問いにそれぞれ答えなさい．

(a)　${26}_{(10)}$を二進法で表しなさい．

(b)　$a\text{，}b$は自然数であり，$a$を二進法で表すと$4$桁，$b$を二進法で表すと$3$桁である．このとき，$ab$の最小値および最大値をそれぞれ二進法で答えなさい．

(c)　$c\text{，}d$は自然数であり，$cd$を二進法で表すと$9$桁，${\displaystyle \frac{c}{d}}$の小数点以下を切り捨てたものを二進法で表すと$5$桁である．このとき，$c$を二進法で表したときの桁数を答えなさい．

【４】　半径$6$の球に内接する直円錐について，以下の問いに答えなさい．ここで，直円錐とは底面の円の中心と頂点とを結ぶ線が底面に垂直である円錐のことである．

[問１]　直円錐の高さが$6$の場合，この直円錐の表面積を答えなさい．

[問２]　直円錐の高さを$6+x\text{（}-6<x<6\text{）}$としたとき，次の問いに答えなさい．

(a)　この直円錐の底面積を$x$を用いて表しなさい．

(b)　この直円錐の体積を$x$を用いて表しなさい．

[問３]　直円錐の体積が最大になるとき，この直円錐の高さ，底面積，体積をそれぞれ答えなさい．