2017　宮城大学　前期MathJax

【１】　次の問１，問２に答えなさい．

問１　$-2\leqq x\leqq 2$の範囲での関数$f(x)=x^2+ax-8$の最小値を$a$の式で表しなさい．この最小値を関数$g(a)$とするとき，$-5\leqq a\leqq 5$の範囲での$g(a)$のグラフをかきなさい．ただし，$a$は実数とする．

【１】　次の問１，問２に答えなさい．

問２　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の二つの工場に，長さ$900\mathrm{mm}$の木材を，$10$本ずつ注文した．それぞれの工場から納品された木材の長さを測定したところ，次のような結果が得られた．

　また，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の二つの工場からの木材合計$20$本を長さの短いものから順に並べたところ，次のようになった．

$\mathrm{A}$工場からの木材$10$本を，長さの短いものから順にあげなさい．

【２】　関数$f(x)=x(x-4)(x-5)$について，次の問１〜問３に答えなさい．

問１　$x$の値が$0$から$3$まで変わるとき，$f(x)$の平均変化率を求めなさい．

問２　$f(x)$の$x=c$における微分係数の定義をかきなさい．

問３　問１で求めた平均変化率と問２での微分係数とが等しいとき，$c$の値を求めなさい．ただし，$0<c<3$とする．

【３】　実数$x\text{，}y$が${({\log }_{3}x)}^2+{({\log }_{3}y)}^2={\log }_3{x}^4+{\log }_3{y}^4$を満たすとき，$xy$の最大値と最小値を求めなさい．

【４】　次の問１，問２に答えなさい．

問１　次の式が成り立つことを示しなさい．

$\sin \alpha \cos \beta ={\displaystyle \frac{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )}{2}}$

問２　$\cos \theta +\cos 2\theta \leqq \sin \theta +\sin 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めなさい．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

【５A】　方程式$x^2-10x+10y-21=0$を満たす自然数の組$(x,y)$をすべて求めなさい．

【５B】　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんが，じゃんけんをする．それぞれが，グー，チョキ，パーを出す確率は，$\mathrm{A}$さんが${\displaystyle \frac{2}{5}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{10}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{10}}$であり，$\mathrm{B}$さんは${\displaystyle \frac{3}{10}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{5}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{10}}$である．$3$回目までに$\mathrm{A}$さんが先に勝つ確率を求めなさい．

【６A】　次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　初項$1\text{，}$公差$3$の等差数列と，初項$7\text{，}$公差$5$の等差数列のどちらにも取れる数を小さい順に並べた数列の一般項を求めなさい．

(2)　初項$2\text{，}$公比$2$の等比数列と，初項$5\text{，}$公差$3$の等差数列のどちらにも現れる数を小さい順に並べた数列の一般項を求めなさい．

【６B】　立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{d}$とする．また，$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{AG}$の中点を$\mathrm{N}$とする．次の(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$\mathrm{DN}\text{，}\mathrm{GM}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$で表しなさい．

(2)　$\mathrm{OP}$の延長と面$\mathrm{DEFG}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$で表しなさい．